Ver :
$\kappa$ es un conjunto de fórmulas ("decidibles") y $Flg(\kappa)$ es el conjunto de consecuencias de $\kappa$ es decir, el conjunto de fórmulas derivables de las fórmulas de $\kappa$ más los axiomas (lógicos) por reglas de inferencia.
$\omega$ -consistencia es una propiedad más fuerte que consistencia (que, en condiciones adecuadas, puede sustituirse por la consistencia simple) [véase van Heijenoort, página 596].
$Neg(x)$ es el negación de la fórmula (cuyo Número de Gödel es) $x$ :
$Neg(x)$ es la función aritmética que envía el número de Gödel de una fórmula al número de Gödel de su negación; en otras palabras, $Neg(\ulcorner A \urcorner) = (\ulcorner \lnot A \urcorner)$ .
$xGeny$ es el generalización de $y$ con respecto a la variable $x$ :
$Gen(x,y)$ es la función aritmética (con dos argumentos) que envía el número de Gödel de una variable $x$ y el número de Gödel de una fórmula $A$ al número de Gödel de su cierre universal; en otras palabras, $Gen(\ulcorner x \urcorner, \ulcorner A \urcorner) = (\ulcorner \forall x A \urcorner)$ .
En conclusión, en el marco de la $\omega$ -supuesto de consistencia, hay un predicado (unario) $P$ con el número de Gödel $r$ de tal manera que ni $\forall v P(r)$ ni $\lnot \forall v P(r)$ son derivables de las fórmulas de $\kappa$ .
Esto significa que el conjunto $\kappa$ de fórmulas es incompleto .
Ver Teoremas de Incompletitud de Gödel .
Véase también esta traducción "moderna" de la obra de Gödel papel original .
