¿Es posible construir un equivalente en 3D del cuerno de Gabriel en un espacio de mayor dimensión?

Question

El cuerno de Gabriel tiene la interesante propiedad de que es una superficie infinita delimitada dentro de un volumen finito.

Me preguntaba si había una extensión de esto al espacio 3D en un espacio dimensional superior, concretamente un volumen infinito contenido en un "hipervolumen" finito (¿existe eso?).

Más específicamente, estoy buscando algo que, en términos de laicos, sería apropiado describir como un volumen infinito contenido dentro de un hipervolumen finito, que como el cuerno de Gabriel, podría ser en sí mismo una parte de un hipervolumen infinito de dimensión superior.

Puntos de bonificación por mostrar una manera de incluir un volumen 3D infinito en sí mismo limitado "finitamente" en otro volumen 3D infinito, incluso si necesitas "doblarlo" de alguna manera con una dimensión extra, o mostrar que no puede se haga.

Por "finitamente" acotado, lo explico con el siguiente ejemplo:

Supongamos que tengo una hoja infinita en 2D, ahora recorto algún círculo finito en esa hoja y lo uno a la boca de un cuerno de Gabriel (obviamente esto requiere añadir una tercera dimensión). Ahora tengo una hormiga caminando sobre esa hoja. La hormiga puede caminar infinitamente en cualquier dirección ya que la hoja es infinita, pero también puede caminar alrededor de la apertura del cuerno de Gabriel. Si la hormiga camina por el interior del círculo, ahora tiene otro espacio "infinito" que explorar en el interior del cuerno, pero el cuerno mismo está en efecto "contenido" dentro de la hoja infinita.

En este sentido ha sorteado un "infinito" simplemente caminando alrededor de él, pero tiene el caso de un infinito limitado en un espacio finito dentro de otro infinito.

Esencialmente lo que busco es un equivalente 3D de esto, donde nuestra hormiga es un humano en el espacio 3D que puede explorar infinitamente un espacio, y luego al pasar por nuestro "agujero" explorar otro espacio infinito, pero ambos espacios están unidos de manera finita, por lo que el humano podría igualmente ir "alrededor" del otro infinito.

(Como nota, soy consciente de que esto empieza a parecerse mucho a los agujeros negros y los horizontes de sucesos, pero no, no estoy haciendo la pregunta por nada que tenga que ver con los agujeros negros)

Answer 1

El mismo enfoque del cuerno de Gabriel funciona, pero tenemos dos ejes para girar, no sólo uno. Imaginamos una función $f(x)$ con dominio $[0,\infty)$ y girar en torno a $x$ . Cada segmento de $(x,0)$ a $(x,f(x))$ se convierte en una bola de radio $f(x)$ . Esa bola tiene volumen $\frac 43\pi(f(x))^3$ y la superficie $4\pi(f(x))^2$ . El $4-$ volumen del conjunto es $$\int_0^\infty\frac 43\pi(f(x))^3dx$$ y el $3-$ El volumen de la frontera, que es como la superficie, es $$\int_0^\infty4\pi(f(x))^2dx$$ Queremos que la primera sea finita mientras que la segunda es infinita. Si dejamos que $f(x)$ sea $x^{-1/2}$ la segunda diverge logarítmicamente mientras que la primera es la integral de $x^{-3/2}$ que es finito. El contraste con el $3$ El caso de las dimensiones es el exponente en la integral de volumen es $3$ en lugar de $2$ y el exponente en la integral de frontera es $2$ en lugar de $1$ .

En $n$ la integral de volumen tendrá un exponente $n-1$ y la integral de frontera $n-2$ Si hacemos $f(x)=x^{\frac 1{n-2}}$ la integral de contorno divergirá mientras que la integral de volumen convergerá. Podemos hacer que el exponente en $f(x)$ cualquier cosa hasta, pero sin incluir $\frac 1{n-1}$ y conseguir el comportamiento que deseamos.

Answer 2

Lo que quieres es $\int f^{n-1}(x) dx \to \infty $ y $\int f^n(x) dx $ está acotado.

Una solución a esto es $f(x) = x^{-1/(n-1)} $ .

Por ejemplo, es un espacio bidimensional, $f(x) = x^{-1} $ , el cuerno tradicional.