Los números ordinales generalizan los números naturales y satisfacen un principio de inducción generalizado. Sin embargo, las propiedades algebraicas de los números ordinales no son tan buenas. Por ejemplo, las sumas ordinales no son conmutativas, ni cancelativas a la izquierda.
En los comentarios se señaló que estas deficiencias pueden subsanarse trabajando con el Suma de Hessenberg de ordinales. Sin embargo, esto introduce un nuevo problema, y es que a pesar de que $1 \leq \omega$ No obstante, la ecuación $1 \boxplus x = \omega$ no tiene solución de valor ordinal (intuitivamente, tendría que ser $x = \omega - 1$ ). Aquí estoy usando $\boxplus$ para denotar la suma de Hessenberg.
Así que intentaba generalizar los números naturales de una manera diferente, sacrificando la prueba por inducción pero conservando todas esas bonitas propiedades algebraicas. Se me ocurrió la siguiente idea, pero no la he visto en ningún sitio.
¿Se ha estudiado la siguiente idea?
En lo que sigue, vamos a tomar $\mathbb{N}$ para comenzar en $1$ . Así que
$$\mathbb{N} = \{1,2,3,\cdots\}.$$
Además, deja que $\mathbb{M}$ denotan los números racionales positivos, con la convención $0 \notin \mathbb{M}.$
Entonces $\mathbb{N}$ se integra de forma natural en $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{M},$ cada uno de los cuales se integra de forma natural en $\mathbb{Q}$ . Intentaremos recrear este sistema de incrustaciones.
Tenga en cuenta que lo que sigue es altamente especulativo, y puede haber errores graves.
Dejemos que $\mathbb{N}'$ denotan el conjunto de todos los polinomios enteros univariantes (no nulos) con coeficiente inicial positivo, ordenados lexicográficamente. Entonces $\mathbb{N}'$ es cerrado bajo adición y multiplicación, y estas operaciones son conmutativas y asociativas en $\mathbb{N}'.$ También tenemos la distributividad de la multiplicación sobre la suma.
Además, para todos los $a,b \in \mathbb{N}',$ Creo que lo siguiente se mantiene.
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Si $a < b,$ entonces para todos $x \in \mathbb{N}'$ tenemos $x+a < x+b$ y $xa < xb.$
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Los siguientes son equivalentes. En particular, i implica ii y ii implica iii.
i. Existe $x$ Satisfaciendo a $x+a=b$ .
ii. $a < b$
iii. Existe un único $x$ Satisfaciendo a $x+a=b$ .
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Para todos $x \in \mathbb{N}'$ tenemos lo siguiente. Si $x+a=x+b$ entonces $a=b.$ Si $xa=xb$ entonces $a=b.$
Ahora dejemos que $\mathbb{Z}'$ denotan el conjunto de todo polinomios enteros univariantes, ordenados lexicográficamente. Así, $\mathbb{N}' = \{x \in \mathbb{Z}' \mid x > 0\}.$ También, $\mathbb{Z}'$ es un dominio integral.
Además, para todos los $a,b \in \mathbb{Z}',$ Creo que lo siguiente se mantiene.
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Si $a < b,$ entonces para todos $x \in \mathbb{Z}'$ tenemos $x+a < x+b.$
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Si $a < b,$ entonces para todos $x \in \mathbb{N}'$ tenemos $xa < xb.$
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Existe $x \in \mathbb{Z}'$ Satisfaciendo a $x+a = 0.$
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Para todos no es cero $x \in \mathbb{Z}'$ tal que $xa=xb$ tenemos $a=b.$
Recordemos que $\mathbb{M}$ es nuestra notación para los números racionales positivos. Por analogía, dejemos que $\mathbb{M}'$ denotan el conjunto de todas las clases de equivalencia de pares ordenados $(a,b) \in \mathbb{N}'$ con una equivalencia definida tal que $$(a,b) \sim (a',b') \;\Leftrightarrow \; ab' = a'b.$$
Lo más probable es que el conjunto $\mathbb{M}'$ se puede equipar con la suma, la multiplicación de la manera habitual. Además, se define $$[(a,b)] < [(a',b')] \Leftrightarrow ab' < a'b.$$
Supongo que esto está bien definido, y que la relación de orden interactúa muy bien con la suma y la multiplicación.
Finalmente, podemos construir un campo ordenado $\mathbb{Q}'$ en al menos dos formas diferentes.
Una forma es sustituir $\mathbb{N}'$ con $\mathbb{Z}'$ arriba. La relación de orden también necesita ser definida de una manera más complicada; presumiblemente, la siguiente definición servirá. $$[(a,b)] < [(a',b')] \Leftrightarrow (bb' > 0 \wedge ab' < a'b) \vee (bb' < 0 \wedge a'b < ab').$$
Esta es básicamente la definición que saqué de la sección de Wikipedia sobre el construcción formal de los números racionales .
Otro enfoque, probablemente más sencillo, sería definir $\mathbb{Q}'$ pegando dos copias de $\mathbb{M}'$ con un elemento $0$ entre ellos. Presumiblemente, ambos enfoques para construir $\mathbb{Q}'$ nos dan el mismo resultado, y este sería nuestro primer teorema importante.
Por último, supongo que obtendremos el sistema habitual de incrustaciones. Así que $\mathbb{N}'$ se integra de forma natural en $\mathbb{Z}'$ y $\mathbb{M}',$ y ambas estructuras se integran de forma natural en $\mathbb{Q}'.$ De hecho, probablemente sea seguro considerar estas incrustaciones como inclusiones.
