Encontrar la solución del sistema $x''=2x+y$ y $y''=x+2y$

Question

Tengo que encontrar la solución del sistema $x''=2x+y$ y $y''=x+2y$ al que se aplica $x(0)=0$ , $x'(0)=2$ , $y(0)=0$ y $y'(0)=0$ .

Primero escribí estas dos fórmulas en matriz así $$\begin{bmatrix} x'' \\ y'' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

Luego calculo los valores propios de la matriz $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ donde consigo $\lambda_{1}=1$ y $\lambda_{2}=3$

Para cada uno de los valores propios obtenemos los vectores propios $v_{1}=\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$ y $v_{2}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

Para ello obtenemos la solución $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{t} & e^{3t} \\ -e^{t} & e^{3t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{1} \\ C_{2} \end{bmatrix}$$

Utilizamos $x'(0)=2$ y $y'(0)=0$ y obtenemos $C_{1}=C_{2}=1$

Ahora tengo que encontrar la solución para $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{t} & e^{3t} \\ -e^{t} & e^{3t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

He intentado encontrar los valores propios de esa matriz pero no los encuentro.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sugerencia : Obsérvese que $$\begin{align} (x-y)'' = x-y. \end{align}$$ Set $u = x-y$ entonces tiene el siguiente PIV $$\begin{align} u''= u, \quad u(0) = 0, u'(0) = 2. \end{align}$$

Pista 2: Después de resolver para $u$ entonces ves que $y= x-u$ lo que significa $x''= 2x+x-u =3x -u$ donde $u$ es conocido.

Answer 2

Has mencionado en el comentario que necesitas resolverlo mediante el método de los valores propios. Hay dos maneras de hacerlo:

1. Dejemos que $x_1 = x$ , $x_2 = x'$ , $x_3 = y$ , $x_4 = y'$ . Puedes comprobar que el sistema de segundo orden dado es equivalente al siguiente sistema de primer orden: $$\begin{align*} x_1' & = x_2 \\ x_2' & = 2x_1 + x_3 \\ x_3' & = x_4 \\ x_4' & = x_1 + 2x_3. \end{align*}$$ Definir la función vectorial $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4)^T$ . Tenemos que $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ donde la matriz de coeficientes es $$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}.$$ WolframAlpha da los valores propios de $A$ como $\lambda = \pm 1, \pm\sqrt{3}$ que son distintos, por lo que la solución general es $$\mathbf{x}(t) = c_1e^{t}\mathbf{v}_1 + c_2e^{-t}\mathbf{v}_2 + c_1e^{\sqrt{3}t}\mathbf{v}_3 + c_4e^{-\sqrt{3}t}\mathbf{v}_4.$$
2. También se puede resolver el sistema lineal de segundo orden utilizando el método de los valores propios sin reescribirlo como un sistema de primer orden equivalente. Sea $\mathbf{z} = (x, y)^T$ . Puede comprobar que $\mathbf{z} = e^{\alpha t}\mathbf{v}$ es una solución a $\mathbf{z}'' = B\mathbf{z}$ con $\alpha^2 = \lambda$ y $(\lambda, \mathbf{v})$ un par propio de la matriz $B$ es decir, $B\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ . En este caso, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ con valores propios distintos $\lambda = 1, 3$ por lo que la solución general es $$\mathbf{z}(t) = c_1e^{t}\mathbf{w}_1 + c_2e^{-t}\mathbf{w}_1 + c_3e^{\sqrt{3}t}\mathbf{w}_2 + c_4e^{-\sqrt{3}t}\mathbf{w}_2.$$