Un producto seno con valores (casi) enteros

Question

Sean n, k números enteros, $n>1$ y $k \perp n$ denota que k, n son coprimos y que $S_n = \{1 \le k \le \lfloor n / 2 \rfloor : k \perp n \}.$ Entonces $$ n \left( \prod_{k \in S_{n}} \sin \left( k \frac {\pi}{n} \right) \right)^{-2} \in \mathbb{Z}. $$

Creo que esto es sorprendente, pero no tengo pruebas.

Answer 1

Hay una serie de resultados de productos que están estrechamente relacionados con su producto. Hay algunas diferencias no esenciales (no se toma la inversa), y en general los productos son sobre todo $k$ de $1$ à $n-1$ relativamente primo a $n$ pero de eso se encargaría su cuadratura. Aquí es un enlace a un artículo completo de Steven Galovich.