Las ordenaciones lexicográficas de los árboles de Aronszajn son líneas de Aronszajn

Question

Intento demostrar que toda ordenación lexicográfica de un árbol de Aronszajn es una Línea de Aronszajn.

Si $T$ es un árbol, una ordenación lexicográfica de $T$ se define como sigue: Para cada $\alpha<\text{ht}(T)$ , dejemos que $\prec_\alpha$ sea un orden total en $\text{Lev}_\alpha(T)$ . Si $x \in T$ , dejemos que $D_x=\{y \in T: y\leq x\}$ . Si $\alpha\leq\text{ht}(x)$ , dejemos que $x(\alpha)$ sea el $\alpha$ elemento de $D_x$ . Si $x, y$ son incomparables, dejemos que $E(x, y)$ ser el primero $\alpha$ tal que $x(\alpha)\neq y(\alpha)$ . La ordenación lexicográfica definida por los órdenes $\prec_\alpha$ se define como: $x \prec y$ si $x<y$ o $x$ y $y$ son incomparables y $x(E(x, y))\prec_{E(x, y)}y(E(x, y))$ .

Una línea Aronszajn es un orden total de cardinalidad $\omega_1$ que no contiene copias de $\omega_1$ no hay copias inversas de $\omega_1$ y no hay subconjuntos incontables de orden isomorfo a subconjuntos de $\mathbb R$ . Intento demostrar que toda ordenación lexicográfica de un árbol de Aronszajn es Línea de Aronszajn. He demostrado que tendrá cardinalidad $\omega_1$ y que no contendrá ninguna copia de $\omega_1$ ni copias inversas de $\omega_1$ . Queda por demostrar que ningún subconjunto incontable del orden lexicográfico será isomorfo de orden a un subconjunto de $\mathbb R$ . He buscado referencias, el manual de Topología Teórica de Conjuntos no me ayuda en este paso y cada referencia que encuentro me dice que vaya al manual. ¿Puede alguien ayudarme?

Edición: Me he dado cuenta de que mi prueba de que no hay decrecimiento $\omega_1$ secuencias está mal. ¿Puede alguien ayudarme también en este paso?

Answer 1

Dejemos que $S$ sea un subconjunto incontable de $T$ y que $D$ sea un subconjunto contable de $S$ basta con demostrar que $D$ no es denso en $S$ . Desde $D$ es contable, existe un $\alpha<\omega_1$ tal que $D\subseteq\bigcup_{\xi<\alpha}\operatorname{Lev}_\xi(T)$ . Ahora utilice un argumento de cardinalidad para demostrar que hay $x,y\in S$ tal que $\operatorname{ht}(x),\operatorname{ht}\ge\alpha$ , $x(\alpha)=y(\alpha)$ y $x\prec y$ .

Añadido: La prueba que conozco para la no incrustación de $\omega_1$ y $\omega_1^*$ funciona igual de bien para ambos. Supongamos que $\langle x_\xi:\xi<\omega_1\rangle$ es estrictamente $\prec$ -aumentar o estrictamente $\prec$ -disminuyendo. Para $\alpha<\omega_1$ dejar

$$L_\alpha=\{x\in\operatorname{Lev}_\alpha(T):|\{\xi<\omega_1:x\prec x_\xi\}|=\omega_1\}\;.$$

Demuestre primero que $L_\alpha\ne\varnothing$ para cada $\alpha<\omega_1$ . Entonces demuestre que en realidad $|L_\alpha|=1$ para cada $\alpha<\omega_1$ . SUGERENCIA: Si no es así, deje que $\alpha$ sea mínima, tal que $|L_\alpha|\ge 2$ , elige distintos $x,y\in L_\alpha$ y obtener una contradicción demostrando que $x\prec y$ y $y\prec x$ . Por último, utilice este resultado para demostrar que $T$ tiene un $\omega_1$ -rama, lo cual es, por supuesto, imposible.