Cálculo de la expectativa mediante V.R. Gamma y Exp.

Question

Estoy trabajando en un problema de tarea de Hogg (7.3.4) y estoy un poco atascado. Necesito calcular la siguiente expectativa: $$ E(Y) = \int^{\infty}_0 \frac{2}{\theta}y e^{-\frac{y}{\theta}}(1-e^{-\frac{y}{\theta}}) dy$$

Dividiendo esto en 2 integrales, obtengo $$\int^{\infty}_0 \frac{2y}{\theta}e^{-\frac{y}{\theta}}dy - \int^{\infty}_0 \frac{2y}{\theta}e^{-\frac{2y}{\theta}}dy$$ En el punto, identifico esos como dos distribuciones Gamma, por lo que obtengo: $$ 2\theta E[Gamma(2, \frac{1}{\theta})] - \frac{\theta}{2}E[Gamma(2,\frac{2}{\theta})] = \frac{7\theta^2}{2} $$

Sin embargo, la solución identifica las dos integrales como distribuciones exponenciales y da la solución $$ \frac{3\theta}{2} $$

Pero no puedo ver cómo esas son distribuciones exponenciales dada la y que está delante de la e. Cualquier ayuda sería apreciada.

Edición: Ahora veo que $\int^{\infty}_0 \frac{2y}{\theta}e^{-\frac{y}{\theta}}dy$ después de ser reescrito como $2\int^{\infty}_0 \frac{y}{\theta}e^{-\frac{y}{\theta}}dy$ es 2 veces el valor esperado de una exponencial con el parámetro $\frac{1}{\theta}$ que se evalúa como $2\theta$ . La segunda integral es el valor esperado de una exponencial con parámetro $\frac{2}{\theta}$ que se evalúa como $\frac{\theta}{2}$ . Si se resta la segunda a la primera, se obtiene $\frac{3\theta}{2}$ .

Answer 1

$3 \theta/2$ es correcto. El valor esperado de una variable aleatoria que tiene la distribución Gamma con parámetros $2$ y $1/\theta$ sería $\int_0^\infty \dfrac{y^2}{\theta^2} e^{-y/\theta}\ dy$ : uno $y$ del PDF y la otra del hecho de que $E[Y] = \int y f(y)\ dy$ .

Answer 2

Creo que una forma de hacerlo es notar que $$\int^{\infty}_0 \frac{2}{\theta}y e^{-\frac{y}{\theta}}(1-e^{-\frac{y}{\theta}}) dy=\theta\int^{\infty}_{0}2ze^{-z}(1-e^{-z})dz$$ y se puede evaluar la integral interna con relativa facilidad para que sea $\frac{3}{2}$ . La ecuación se cumple transformando $z=\frac{y}{\theta}$ . Sin embargo, no sé de qué distribución se trata. Nunca lo he visto antes.