Integre la expresión dada para encontrar $f(1)$

Question

Si $$f(x)=\int \frac {x^2}{(x^2+2)(1+\sqrt{x^2+1})}dx$$ y $f(0)=0$ , entonces encuentra $f(1)$

He multiplicado y dividido por $\sqrt{x^2+1}-1$ pero más tarde se atascó en $\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+2}.dx$ Cómo resolver esta integral. ¿Podría alguien ayudarme con esto?

Answer 1

$$\int_{0}^{1}\frac{x^2\,dx}{(x^2+2)(1+\sqrt{1+x^2})}\stackrel{x\mapsto\sinh z}{=}\int_{0}^{\log(1+\sqrt{2})}\frac{\sinh^2(z)\cosh(z)\,dz}{(\sinh^2(z)+2)(1+\cosh z)} $$ es igual, por la sustitución $z=\log t$ , $$ \int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{(1-t)^2 (1+t^2)}{t(1+6t^2+t^4)}\,dt $$ que puede calcularse mediante la descomposición de fracciones parciales. Las raíces de $t(1+6t^2+t^4)$ vienen dadas por $0$ y $\pm i(\sqrt{2}\pm 1)$ y $\int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{dt}{t-\zeta}=\log\left(\frac{1+\sqrt{2}-\zeta}{1-\zeta}\right)$ Por lo tanto, calculando cinco residuos y simplificando

$$ \int_{1}^{1+\sqrt{2}}\frac{(1-t)^2 (1+t^2)}{t(1+6t^2+t^4)}\,dt = \color{blue}{\log(1+\sqrt{2})-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\left[\text{arctanh}\tfrac{1}{2}+\arctan\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right]}.$$