El supremo e ínfimo de una secuencia de funciones medibles es medible

Question

Estoy leyendo el libro de Folland Análisis real: Técnicas modernas y sus aplicaciones y tienen la siguiente proposición y prueba:

Propuesta: Si $\{f_{j}\}$ es una secuencia de $\bar{\mathbb{R}}$ - funciones valoradas medibles en $(X, \mathcal{M})$ y luego las funciones:

$$g_{1}(x)=\sup_{j} f_{j}(x)$$ $$g_{2}(x)=\inf_{j} f_{j}(x)$$ son medibles.

Prueba:

Tenemos

$$g_{1}^{-1}((a,\infty])= \bigcup_{j=1}^{\infty} f_{j}^{-1}((a,\infty])$$ $$g_{2}^{-1}([-\infty,a))= \bigcup_{j=1}^{\infty} f_{j}^{-1}([-\infty,a))$$

El resultado se desprende del hecho de que $g_{1}^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{M}$ para todos $a \in \mathbb{R} \iff g$ es medible, y $g_{2}^{-1}([-\infty,a))\in \mathcal{M}$ para todos $a \in \mathbb{R} \iff g$ es medible.

Entiendo la última parte de la prueba, pero ¿cómo sabemos $g_{1}^{-1}((a,\infty])= \bigcup_{j=1}^{\infty}f_{j}^{-1}((a,\infty])$ y $g_{2}^{-1}([-\infty,a))=\bigcup_{j=1}^{\infty} f_{j}^{-1}([-\infty,a))$ ? Agradecería cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

Esto es lo mismo que la respuesta de Augustin, pero para hacerla psicológicamente "más tautológica"...

Piensa en las uniones como "existe" [y en las intersecciones como "para todos"].

Escribir $\{\, P\, \}$ para $\{x\, | P(x) \}$ abajo:

Por ejemplo, en su caso,

$$ \{\, \def\S {\sup_k\ f_k} \S >a\, \} = \bigcup_k\ \{\, f_k > a\, \} $$ es la afirmación de que si $\S(x)>a$ entonces existe un $k$ tal que $f_k (x) >a$ y a la inversa: si existe un $k$ tal que $f_k (x) > a$ Entonces...

Del mismo modo, (no es lo que está preguntando, pero aquí para ilustrar) $$ \{\, \inf_k f_k\ge a\, \} = \bigcap_k\ \{\, f_k \ge a \,\}$$ es la declaración que $\inf_k f_k(x) \ge a $ si y sólo si $f_k(x) \ge a$ para todos $k$ .

Answer 2

Una pista: $\sup_j f_j(x)\gt a\iff \exists j,\, f_j(x)\gt a$ .