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Marvis mostró que $$ I_n = \int_0^1 \dfrac{nx^{n-2}}{x^{2n} + x^n + 1} dx = \int_0^1 \dfrac{dt}{t^{1/n}(t^2 + t + 1)}. $$ En este punto, se puede utilizar la monotonía de convergencia como Davide comentado, pero desde que Chris está interesado en un enfoque más directo, aquí va uno.
Tenemos $$ I_n \geq \int_0^1 \dfrac{dt}{t^2 + t + 1}=\frac{\pi}{3\sqrt3}, $$ y para $n>1$ y para cualquier pequeño $\delta>0$ $$ I_n\leq \int_0^\delta \dfrac{dt}{t^{1/n}} + \int_\delta^1 \dfrac{dt}{\delta^{1/n}(t^2 + t + 1)}=\frac{\delta^{1-1/n}}{1-1/n}+\frac1{\delta^{1/n}}\Big(\frac{2\pi}{3\sqrt3}-\frac{2\arctan(\frac{2\delta+1}{\sqrt3})}{\sqrt3}\Big). $$ Una inspección del límite de $n\to\infty$ de la derecha muestra que $$ I_n\leq \delta+\frac{2\pi}{3\sqrt3}-\frac{2\arctan(\frac{2\delta+1}{\sqrt3})}{\sqrt3}+E(\delta,n), $$ donde $E(\delta,n)\to0$ $n\to\infty$ fijos $\delta>0$. Desde $\arctan(z)$ es continua en a$z=\frac1{\sqrt3}$$\arctan(\frac1{\sqrt3})=\frac\pi6$, para cualquier $\varepsilon>0$, se puede elegir $\delta>0$ tan pequeña que $$ \delta+\frac{2\pi}{3\sqrt3}-\frac{2\arctan(\frac{2\delta+1}{\sqrt3})}{\sqrt3}<\frac{\pi}{3\sqrt3}+\frac\varepsilon2. $$ Por lo suficientemente grande $n$, también podemos asegurar $E(\delta,n)<\frac\varepsilon2$, lo que implica que hay un umbral de valor de $N$ tal que $$ \frac{\pi}{3\sqrt3}\leq I_n<\frac{\pi}{3\sqrt3}+\varepsilon, $$ para todos los $n>N$.
