Elija $a, b$ para que $\cos(x) - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ sería tan infinitamente pequeño como sea posible en ${x \to 0}$ utilizando el polinomio de Taylor

Question

$$\cos(x) - \frac{1+ax^2}{1+bx^2} \text{ on } x \to 0$$

Si $\displaystyle \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $

Entonces debemos elegir $a, b$ de tal manera que su serie Taylor se acerca a esto.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo enfocar esto. He intentado tomar varias derivadas del segundo término para ver su valor en $x_0 = 0$ pero se complica y no veo la fórmula general para $n$ -derivada en el punto cero para encontrar $a$ y $b$ .

Answer 1

Obsérvese que sólo hay que calcular la expansión de Taylor de \begin{align} g(x)&=\cos x+bx^2\cos x-1-ax^2 \\[6px] &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} +bx^2-\frac{bx^4}{2!}+\frac{bx^6}{4!}-1-ax^2+o(x^6)\\[6px] &=\left(-\frac{1}{2}+b-a\right)x^2+ \left(\frac{1}{24}-\frac{b}{2}\right)x^4+ \left(-\frac{1}{6!}+\frac{b}{4!}\right)x^6+o(x^6) \end{align} Por lo tanto, $$ \begin{cases} a-b=-\dfrac{1}{2} \\[6px] b=\dfrac{1}{12} \end{cases} $$