Elija $a, b$ para que $\cos(x) - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ sería tan infinitamente pequeño como sea posible en ${x \to 0}$ utilizando el polinomio de Taylor

Question

$$\cos(x) - \frac{1+ax^2}{1+bx^2} \text{ on } x \to 0$$

Si $\displaystyle \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

Entonces debemos elegir $a, b$ de tal manera que su serie Taylor se acerca a esto.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo enfocar esto. He intentado tomar varias derivadas del segundo término para ver su valor en $x_0 = 0$ pero se complica y no veo la fórmula general para $n$ -derivada en el punto cero para encontrar $a$ y $b$ .

Answer 1

El método rápido: $$\begin{align*} f(x) = \frac{1 + a x^2}{1 + bx^2} &= (1 + a x^2) \left( 1 - b x^2 + b^2 x^4 - b^3 x^6 + \cdots \right) \\&= 1 - (b - a) x^2 + (b^2 - ab) x^4 - (b^3 - a b^2) x^6 + \cdots \end{align*}$$ Queremos $b - a = \frac{1}{2}$ y $b (b-a) = \frac{1}{24}$ para que (al menos) los tres primeros términos de la serie de Taylor de $f(x)$ y $\cos x$ estar de acuerdo. Esto implica que $b = \frac{1}{12}$ y $a = -\frac{5}{12}$ con esta elección, tenemos $$f(x) = \frac{1 - \frac{5}{12} x^2}{1 + \frac{1}{12} x^2} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{288} + \cdots$$ que está de acuerdo con $\cos x$ hasta el $\mathcal{O}(x^6)$ plazo.

Answer 2

Una pista: Obsérvese que, por su expansión de Taylor, $\big(\cos(x)-1\big)\to0$ como $x\to0$ .

Answer 3

Obsérvese que para cualquier $a,b$

$$\lim_{x\to0}\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=1$$

y

$$\lim_{x\to0}\cos(x)=1$$

Así que, independientemente de $a,b$ tenemos

$$\lim_{x\to0}\cos(x)-\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=1-1=0$$

Answer 4

Su función es

$$\cos(x)-\frac{a}{b}-\frac{1-\frac{a}{b} }{ bx^2+1 }$$

$$=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{a}{b}-1+\frac{a}{b}+bx^2-ax^2-b(b-a)x^4+x^4\epsilon(x).$$

por lo tanto, necesitamos $b-a=-\frac{1}{2}$ y $b(b-a)=-\frac{1}{24}$ .

que da

$b=\frac{1}{12}$ y $a=\frac{7}{12}$ .

Answer 5

Otra pequeña variación: $$1 + ax^2\approx (1+bx^2)\cos x = 1 + (b - 1/2)x^2 + (1/24 - b/2)x^4 + \cdots$$ $$a = b - \frac12;$$ $$0 = \frac1{24}-\frac{b}2.$$