Encontrar una constante de normalización

Question

Quiero encontrar la constante de normalización para el siguiente pdf

$$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = C\cdot\Pi_{m=1}^n\exp\left\{-\frac{1}{2a^2}(x_m-\sum_{l=1}^L\alpha_lx_{m-l})^2+y_m\sum_{l=0}^L\beta_lx_{m-l}\right\} $$ donde $n>L$ y $x_l=0$ para $l\leq0$ . En concreto, quiero encontrar $C$ para lo cual

$$ \int_{\mathbb{R}^n}f(x_1,x_2,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n = 1. $$

¿Alguna idea?

Answer 1

Por tu comentario, parece que no eres consciente de que el producto exterior es equivalente a una suma en el exponente. Utilizando $\exp(a)\exp(b)=\exp(a+b)$ y transformando los índices como se sugiere en un comentario, puede reescribir su función como

$$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = C\exp\left\{\sum_{m=1}^n\left(-\frac{1}{2a^2}\left(x_m-\sum_{k=m-L}^{m-1}\alpha_{m-k}x_k\right)^2+y_m\sum_{l=0}^L\beta_{m-k}x_k\right)\right\}\;. $$

De esta representación se desprende que la matriz de la forma cuadrática (cuyo determinante se necesita) es una matriz de banda con ancho de banda $2L+1$ . Las entradas diagonales son constantes ( $1+\sum_i\alpha_i^2$ ) hasta $m=n-L$ pero disminuye para mayores $m$ (porque las sucesivas $\alpha_i^2$ desaparecen) hasta $1$ para $m=n$ . Debido a esta asimetría, dudo que encuentres una buena forma cerrada para el determinante.