Integrando $f(y) = e^{-y} y^3$

Question

Comprobando en Wolfram Alpha puedo ver que

$$\int_0^{\infty}e^{-y} y^3 dy = 2$$

Esto me lleva a pensar que esta integral se puede resolver por métodos estándar... pero no veo cómo procederían la sustitución en u o la integración por partes...

Answer 1

$$ I = \int^{\infty}_{0}\mathrm{e}^{-\alpha y}dy = \frac{1}{\alpha}. $$ y $$ -\frac{d^{3}I}{d\alpha^{3}} = -\frac{d^{3}}{d\alpha^{3}}\int^{\infty}_{0}\mathrm{e}^{-\alpha y}dy = -\int^{\infty}_{0}\frac{d^{3}}{d\alpha^{3}}\mathrm{e}^{-\alpha y}dy\\ =\int^{\infty}_{0}y^{3}\mathrm{e}^{-\alpha y}dy. $$ Subiendo en el for $I$ $$ -\frac{d^{3}I}{d\alpha^{3}}= \frac{6}{\alpha^{4}} $$ desde $\alpha$ =1 entonces el resultado es

$$ \int^{\infty}_{0}y^{3}\mathrm{e}^{-y}dy = 6 $$ y no 2.

Answer 2

Una antiderivada de $f(x)=e^{-x}x^2$ es de la forma $e^{-y}P(x)$ , donde $P$ es un polinomio de grado dos: $P(x)=ax^2+bx+c$ diferenciando obtenemos $$ (e^{-x}P(x))'=-e^{-x}(ax^2+bx+c)+e^{-x}(2ax+b)=e^{-x}(-ax^2+(2a-b)x+b-c) $$ por lo que necesitamos \begin{cases} -a=1\\ 2a-b=0\\ b-c=0 \end{cases} o $a=-1$ , $b=-2$ , $c=-2$ . Ahora, calcular la integral es fácil.

Probemos ahora que, si $Q(x)$ es un polinomio, entonces una antiderivada de $e^{-x}Q(x)$ es de la forma $e^{-x}P(x)$ donde $P$ es un polinomio que tiene el mismo grado que $Q$ . Si el grado de $Q$ es $0$ La afirmación es obvia. Entonces, supongamos $Q$ tiene grado $n>0$ y que la afirmación es válida para polinomios de grado inferior a $n$ .

No es restrictivo suponer que $Q(x)=x^{n}+Q_1(x)$ , donde $Q_1$ tiene un grado como máximo $n-1$ (el coeficiente de $x^n$ se puede sacar de la integral).

Así, $$ \int e^{-x}Q(x)\,dx= \int e^{-x}x^n\,dx+\int e^{-x}Q_1(x)\,dx= \int e^{-x}x^n\,dx+e^{-x}P_1(x) $$ donde $P_1$ tiene un grado como máximo $n-1$ por hipótesis de inducción. Así que tenemos que integrar (por partes) $$ \int e^{-x}x^n\,dx=-e^{-x}x^n + \int e^{-x}nx^{n-1}\,dx= e^{-x}x^n+e^{-x}P_2(x) $$ donde $P_2$ tiene grado (como máximo) $n-1$ . Así que hemos terminado con $$ P(x)=-x^n+P_2(x)+P_1(x). $$

(He omitido la constante de integración, que no tiene importancia ya que necesitamos un antiderivada).

Answer 3

Esos algunos métodos

• Encuentra la integral utilizando tres integraciones por partes
• Dejemos que $$f(n)=\int_0^\infty e^{-y}y^n dy$$ y por una integración por partes encontrar una relación recursiva de $f(n+1)$ y $f(n)$
• Utilice la función Gamma $$\Gamma(x)=\int_0^\infty e^{-y}y^{x-1} dy$$ y tenemos $$\Gamma(n+1)=n!$$

Answer 4

Integración por partes tres tiempos acabará por aislar $e^{-y}\,dy$ en la integral final. Lo único complicado aquí es no perder de vista los signos.