Relación entre los polinomios de Legendre y las funciones de Legendre del segundo tipo

Question

Estoy tomando un curso de ODE en este momento, y mi instructor nos dio el siguiente problema:

Deduzca la siguiente fórmula para Funciones de Legendre $Q_n(x)$ del segundo tipo:

$$Q_n(x) = P_n(x) \int \frac{1}{[P_n(x)]^2 (1-x^2)}dx$$

donde $P_n(x)$ es el $n$ -a Polinomio de Legendre .

Introdujo las funciones de Legendre en el contexto de las EDO de segundo orden, pero realmente no las hemos utilizado para nada; además, este es el único problema que nos asignaron que tiene algo que ver con ellas. Por lo tanto, no sé por dónde empezar.

He intentado un par de cosas (como usar la verdadera EDO de Legendre

$$(1-x^2)y^{\prime \prime} - 2xy^{\prime} + n(n+1)y = 0$$

y se introduce la solución $y(x)=a_1P_n(x)+a_2Q_n(x)$ y proceder a partir de ahí) pero hasta ahora, no han podido ir a ninguna parte.

Cualquier ayuda (preferiblemente lo más elemental posible) será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

La solución más general de la ecuación de Legendre es $$y = A{P_n} + B{Q_n}.$$ Dejemos que $y(x) = A(x){P_n}(x)$ . Entonces $y' = AP' + A'P$ y $y'' = AP'' + 2A'P' + A''P$ . Así que $$(1 - {x^2})(AP'' + 2A'P' + A''P) - 2x(AP' + A'P) + n(n + 1)AP = 0.$$ Tenga en cuenta que $$(1 - {x^2})(AP'') - 2x(AP') + n(n + 1)AP = 0$$ lo que significa que algunos términos de la ecuación anterior desaparecen. Ahora dejemos que $A' = u$ y reducir el orden para que $$2\frac{{dP}}{P} + \frac{{du}}{u} - \frac{{2xdx}}{{1 - {x^2}}} = 0$$ y $$u = \frac{{{\text{const}}}}{{(1 - {x^2}){P^2}}}$$ así que $$A = {C_n}\int {\frac{1}{{(1 - {x^2}){P^2}}}dx}.$$ A ver si puedes hacer el resto.