Demuestra que la suma de las raíces 5ª de la unidad es un número real.

Question

Definir $\omega = e^{\frac{2\pi i}{5}}$ y que $u = -\omega^{2}(1+\omega)$ sea una unidad en $\mathbb{Z}[\omega]$ . Necesito mostrar $u$ es un número real positivo. He intentado utilizar el hecho de que $0=1+\omega +\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}$ entonces $-\omega^{2}-\omega^{3}=u=1+\omega +\omega^{4}$ . ¿Existe una propiedad para las raíces de la unidad que las restrinja a ser $\leq 1$ ?

Answer 1

Utilizando el hecho de que $\omega^5 = 1$ ,

\begin{align*} u &= -\omega^2 - \omega^3 \\ &= - \omega^2 - \frac{1}{\omega^2} \end{align*}

Ahora trata de relacionar esto con $\omega$ utilizando el hecho de que $\omega$ es unimodular. Spoilers por delante.

$$= -\left(\omega^2 + \overline{\omega^2}\right) = -2 \Re \omega^2 = -2 \cos\frac{4\pi}{5} > 0.$$