Un mes lunar comienza con la luna nueva y dura 30 días si la luna cae en un mes impar (Ene, Mar, Mayo, Jul, Sep, Nov) y 29 días si la luna cae en un mes par (Feb, Abr, Jun, Ago, Oct, Dic). Como excepción, si el año tiene un día bisiesto ese día se añade a la luna de febrero, de modo que en ese año la luna de febrero dura 30 días. Así, los 12 meses lunares tienen 354 días en los años ordinarios y 355 en los bisiestos. En ambos casos la diferencia entre el año solar y los 12 meses lunares es de 11 días.
Si contamos estos 11 días al año, al cabo de 19 años tenemos una diferencia de 19 x 11 = 209 días.
Así que en el antiguo calendario lunar griego añadían al calendario lunar un mes extra (llamado mes embolismático) cuando la diferencia era de 30 o más. Así que si empezamos con el año 1 (diferencia al final del año: 11), en el año 2 esa diferencia es de 22, en el año 3 sería de 33 pero se añade un mes extra de 30 días por lo que la diferencia pasa a ser de 3, y así sucesivamente.
Sumando 6 meses embolismáticos de 30 días cada uno en 19 años la diferencia de 209 se convierte en 209-6 x 30=29 días, por lo que se añade otro mes embolismático de 29 días al decimonoveno año y la diferencia pasa a cero. Es decir, con 235 lunaciones (12 años lunares de 12 meses cada uno + 7 años lunares de 13 meses cada uno) cubres 19 años solares y todas las lunas del año vuelven a los mismos días.
Esto se conoce como el ciclo metónico.
La diferencia entre el año solar y el año lunar N es la misma que la edad de la luna al 1 de enero del año N+1.
Si hay luna el 1 de enero, el año lunar terminará el día 354 del año (355 si es bisiesto), es decir el 20 de diciembre y el siguiente mes lunar comienza el 21 de diciembre. Entonces la edad de la luna al 1 de enero es 32-21=11 que es la misma que la diferencia del año N.
La edad de la luna al 1 de enero se llama "epact" y su valor es de 0 a 29.
Cuando se conoce el epactus de un año, también se conocen todas las lunas de ese año.
En cuanto al ciclo metónico todas las lunas se repiten después de 19 años solares, si se asigna un número del 1 al 19 a cada año (esto se llama el número áureo) entonces todos los años con los mismos números áureos tienen el mismo epactus y las mismas lunas.
Alrededor del año 500 d.C. un monje, Dyonisus, afirmó que en el año anterior al del nacimiento de Cristo había habido una luna a 24 de diciembre por lo que la edad de la luna del año posterior (1 a.C.) es 32-24=8.
Así pues, Dyonisus decidió que el ciclo metónico comenzaría en el año 1 a.C. con el número áureo 1 y el epactus 8.
El número áureo de cada año Y después del 1 a.C. es entonces
G = (Y mod 19) + 1
Si se conoce el número áureo, se puede encontrar fácilmente el epact, recordando que el epact aumenta 11 días cada año y si llega o es más de 30 hay que restar 30.
Como puedes ver, después del año 19 para llegar al año 1 del siguiente ciclo hay que sumar 12 y no 11 días, esto se conoce como saltus lunae y la razón es que el mes embolismático del decimonoveno año de ciclo tiene 29 días y no 30.
La relación entre el número áureo G y el epactus E puede expresarse con una fórmula:
E = [8+11 x (G-1)] mod 30
E = (8+11G-11) mod 30
E = (11G - 3) mod 30
Como 30+n = n mod 30 se puede restar 30 a la expresión anterior obteniendo
E = (11G-33) mod 30
Y, finalmente,
E = [11(G-3)] mod 30
Si conoces el epact de un año, puedes encontrar todas las lunaciones de ese año. En particular, como los meses lunares de enero y febrero cuentan 59 días juntos, cuando el epact del año es 0 significa que hay una lunación el 1 de enero y otra el día 1+59, es decir, el día 60 del año, o sea el 1 de marzo.
Ya sabes que la luna llena de Pascua es la primera luna llena que ocurre en el día del equinoccio (que la Iglesia fijó en el 21 de marzo) o después.
También se ha dicho que, para simplificar, la luna llena de un mes lunar es siempre el decimocuarto día de ese mes, es decir, 13 días después de la luna nueva.
Así que cuando el epactus es 0 tenemos una luna llena el 1+13=14 de marzo.
Como el 14 de marzo es anterior al equinoccio, debemos considerar la siguiente luna llena que, siendo el mes lunar de marzo de 30 días, ocurre el 13 de abril, es decir, el 44º día desde el 1 de marzo.
Así, finalmente, cuando el epactus es 0 la luna llena pascual es el día 44 de marzo, considerándose a efectos de cálculo como las fechas de abril serían fechas de marzo+31.
Cuando el epact aumenta en 1, la edad de la luna es mayor y entonces la luna llena precedente es más temprana, por lo que todas las lunas nuevas y llenas se desplazan un día hacia atrás. Así que cuando el epact es 1 el pfm está en el día 43, cuando es 2 está en el día 42, y así sucesivamente.
Podemos escribir
P = 44 - E
Donde P es la luna llena pascual.
Pero si E = 24 o más, la relación anterior da una luna llena pascual anterior al equinoccio. Entonces, en ese caso debemos desplazarnos en la siguiente luna llena, añadiendo 30 días.
Así que la fórmula correcta es
P = 44 - E si E ≤ 23
P = 74 - E si E > 23
Como el pfm no es anterior al 21 de marzo, podemos reescribir las ecuaciones como
P = 21 + 23 - E si E ≤ 23
P = 21 + 53 - E si E > 23
Ahora podemos observar que 53 - E = (53 - E) mod 30 = (23 - E) mod 30 por lo que la fórmula final es:
P = 21 + (53 - E) mod 30
Antes de ofrecer el algoritmo de Gauss, necesitamos otro paso.
El ciclo metódico, en el que se basa la última fórmula, funciona desde el año 46 a.C., cuando se instituyó el calendario juliano, hasta el año 1582 d.C., cuando el Papa Gregorio XIII estableció el nuevo calendario que después de su nombre se llama gregoriano. Por razones que no es necesario indicar aquí, la reforma del calendario se estableció:
1) Para reallizar el equinoccio civil y astronómico en el 21 de marzo, había que restar 10 días a 1582, de modo que el día siguiente al jueves 4 de octubre de 1582 del calendario juliano es el viernes 15 de octubre del calendario gregoriano;
2) Para los próximos siglos, sólo los años seculares (los que terminan en 00) múltiplos de 400 serían bisiestos, los demás serían ordinarios (la llamada ecuación solar)
3) El año lunar se habría incrementado en 8 días cada 2500 años, añadiendo un día cada 300 años por siete veces, y luego un día después de 400 años. El primer día se habría añadido a 2800 como el último año de un ciclo de 2500 y luego otro ciclo comenzó. Se determinó que los días a añadir hasta 1582 eran 4 (la llamada ecuación lunar)
4) Por efecto de lo aquí dicho, los epactos habrían disminuido en 6 (4-10) ya que restando un día a un año solar disminuye el epacto, añadiendo un día al año lunar lo aumenta. Clavius, uno de los astrónomos de la comisión de Pope, decidió disminuir los epactas en 7, para no alterar el ciclo de la semana. Así pues, para determinar los epactos se deben considerar los días restados por la ecuación solar y los añadidos por la ecuación lunar, ya que estas ecuaciones se aplicarían incluso antes de 1582.
Todas esas reglas se pueden formalizar modificando la ecuación que nos da el epact como sigue:
E = [11(G-3) + S - L] mod 30
Donde S y L indican, respectivamente, la ecuación solar y la lunar.
El algoritmo de Gauss
Gauss no explicó su algoritmo, pero se puede derivar fácilmente de los epactos y los números áureos.
Primero damos el significado de los parámetros d y e. El valor d representa el número de días (0 a 29) que transcurren desde el 21 de marzo y la luna llena pascual. El valor e representa el número de días (0 a 6) que transcurren desde el día siguiente a la luna llena pascual, es decir, el primer día en que puede caer la Pascua, y el domingo de Pascua.
Así, la fecha de la Pascua viene dada por 21+ d (pfm) + 1 (primer día de la Pascua) + e (días hasta el primer domingo):
Fecha = 22 + d + e de marzo
Si 22 + d + e es mayor que 31, entonces se resta 31 y se obtiene la fecha de la Pascua en abril:
Fecha = d + e - 9 de abril
Hay dos excepciones de las que hablaremos más adelante.
Ahora para determinar el valor de d podemos utilizar las ecuaciones de epact y del número áureo. Recordando que los epactos cambian en el calendario gregoriano por la influencia de las ecuaciones solares y lunares, primero calculamos d para los años 1700 a 1799 y luego extenderemos en general la fórmula a los años anteriores y posteriores.
Así que si d son los días desde el 21 de marzo hasta la luna llena, podemos escribir
d = P - 21 = 21+(53-E) mod 30 - 21 = (53 - E) mod 30
Recordando que
E = [11(G-3) - S + L] mod 30
Si tomamos
a = Y mod 19
tenemos
G = Y mod 19 +1 = a + 1
Para los años 1700 a 1799 podemos obtener las ecuaciones solares y lunares de la siguiente manera:
k = |N/100| = 17
S = k - |k/4|= 17 - 4 = 13
L = |(8k + 13)/25|= 5
Así que obtenemos
E = [11(a +1- 3) -13 + 5] mod 30 = (11a + 11 - 33 - 13 + 5) mod 30 = = (11a - 30) mod 30 = 11a mod 30
Ahora sustituyendo E en la ecuación de d obtenemos
d = (53 - E) mod 30 = (53 - 11a) mod 30 = (23 - 11a ) mod 30
d = (19a + 23) mod 30
Para obtener una ecuación general para todos los años julianos y gregorianos, sustituimos el número 23 por un parámetro, que Gauss llama M.
Obviamente, para los años 1700 a 1799 M = 23.
Así que, en general
d = (19a + M) mod 30
M aumenta en uno cada vez que se aplica la ecuación solar, ya que en este caso el epactus es uno menos y simétricamente la luna llena es un día más tarde.
M también disminuye en uno cuando hay que aplicar la ecuación lunar, porque en este caso el epactus es un día más y la luna llena un día antes. Así que para determinar el valor de M para los siglos gregorianos se obtiene
M=23 para 1700 a 1799
M=23 para 1800 a 1899 porque en 1800 se aplican las ecuaciones solar y lunar y las variaciones se compensan entre sí
M=24 para 1900 a 2199, ya que en 1900 se aplica la ecuación solar, en 2000 no se aplica la solar ni la lunar y en 2100 se aplican ambas.
Para 1583 a 1699 M=22 porque en 1600 no hay que aplicar ninguna euqción y después de la aplicación de la ecuación solar en 1700 M es 23.
Para los años hasta 1582 no hay que aplicar ninguna ecuación, sino que hay que contar los 7 días restados a los epactos en 1582. Esto significa que desde el juliano 1582 hasta el gregoriano los epactos son 7 días menos, por lo que M se incrementa en 7 días. Esta corrección tiene en cuenta 12 días para la ecuación solar y 5 días para la ecuación lunar aplicada desde el 1 a.C. hasta 1582. Es decir, M para 1582 (y todos los años julianos anteriores) es 22-7=15.
Para obtener M para los años gregorianos, basta con calcular la ecuación solar y lunar y sumar el resultado a 15, restando 30 si el resultado es más ya que M aparece en una ecuación en módulo 30.
M=(15 + k - |k/4|-|(8k+13)/25|) mod 30
Ahora una vez que tienes a, d y M debes encontrar e.
Para ello, Gauss encontró primero un día que sabía que era domingo, es decir, el 21 de marzo de 1700.
Luego calculó el número de días que pasan desde el 21 de marzo de 1700 hasta el domingo de Pascua de un año Y entre 1700 y 1799, observando que obviamente ese número de días debe ser un múltiplo de 7.
Así que la ecuación es inicialmente eso:
365 (Y - 1700) + i + (22 + d + e) - 21 = 0 mod 7
donde:
365 (Y - 1700) + i son los días transcurridos desde el 21 de marzo de 1700 hasta el 21 de marzo de Y, contando 365 días al año más i días bisiestos;
22 + d + e es la fecha del domingo de Pascua del año Y.
Ahora, para los días bisiestos, tenemos que el último año bisiesto no posterior a Y viene dado por
Y - Y mod 4
y luego desde 1700 hasta ese año tenemos
Y - 1700 - Y mod 4
años. Llamando b a la cantidad Y mod 4 tenemos que hay
Y - 1700 - b
años desde 1700 hasta el último año bisiesto no después de b. por lo tanto hay
i = (Y - 1700 - b)/4 días bisiestos de 1700 a Y
Como i es un número entero, 7i también lo es y es un múltiplo de 7. Así que podemos añadir 7i a la ecuación y obtener
365 (Y - 1700) +8i + (22 + d + e) - 21 = 0 mod 7
Sustituyendo el valor encontrado por I tenemos:
365 (Y - 1700) +2(Y - 1700 - b) + d + e + 1 = 0 mod 7
Es decir
367 (Y - 1700) - 2b + d + e + 1 = 0 mod 7
Como 364 mod 7 = 0 podemos restar 364 (Y - 1700) y obtener
3(Y - 1700) - 2b + d + e + 1 = 0 mod 7
Es decir
3Y - 5100 - 2b + d + e + 1 = 0 mod 7
Y sumando 5096 que es un múltiplo de 7
3Y - 4 - 2b + d + e + 1 = 0 mod 7
3Y- 2b + d + e - 3 = 0 mod 7
Ahora dejemos que c = Y mod 7. Entonces 3c = 3(Y mod 7) = 3Y- 3 x 7|Y/7|
Como 7|Y/7| es un múltiplo de 7, podemos decir
3c = 3Y mod 7
Y sustituyendo
3c- 2b + d + e - 3 = 0 mod 7
Por último, para eliminar los signos menos, restamos ambos miembros a 7c+7d, es decir es un múltiplo de 7.
(7c-3c)-(-2b)+(7d-d)-e-(-3) = 0 mod 7
4c+2b+6d-e+3 = 0 mod 7
Por lo tanto,
e = (2b+4c+6d+3) mod 7
El número 3 que aparece en esta ecuación sólo es válido para los años 1700 a 1799; para obtener una fórmula general llamamos a ese número N
e = (2b+4c+6d+N) mod 7
y calcularlo de la siguiente manera.
Para 1700 a 1799 obviamente N = 3
Cada vez que se aplica la ecuación solar, los días del año retroceden una posición y, por tanto, si 22+d+e indicaba un domingo, después de la corrección se produce un sábado, por lo que se necesita otro día para llegar a un domingo. Por eso e debe aumentar en uno cada vez que se aplica la ecuación solar. Y como los demás parámetros b, c y d son fijos para cada año, el único parámetro que puede variar es N.
Así tenemos que N es 3 para el siglo 17, 4 para el siglo 18, 5 para los siglos 19 y 20, 6 para el 21 y así sucesivamente.
Para el siglo 16 N es 2 porque en 1700 se debe aplicar la ecuación solar.
Para el siglo gregoriano 15 N también es 2 ya que en 1600 no aplicamos la ecuación solar
Para los años anteriores a 1583 N no cambia, pero hay que tener en cuenta los 10 días añadidos a 1582, por lo que N para el calendario juliano es (2-10) mod 7 = 6. En general, para los años gregorianos se tiene que N = (2 + S - 12) mod 7 = (k - |k/4|-10) mod 7
N = (4+k - k -|k/4|) mod 7
Para las dos excepciones, se derivan de la regla que
1) El plenilunio pascual nunca puede ocurrir el 19 de abril, por lo que en los años con epact 24 hay que determinar el pfm ya que el epact fue 25;
2) En el mismo ciclo de oro no debes tener dos pfm el mismo día. Por lo tanto, si en un ciclo tienes un epact 24 que se convierte en 25, cuando se produzca otro epact 25 se debe considerar como 26.
En ambos casos, el pfm se retrasa un día.
En cuanto al algorhitmo, pues, este desplazamiento es indiferente hasta que e sea menor que 6, porque el efecto de retroceder el pfm (es decir, d se convierte en 1 menos) es disminuir e en 6 mod 7, es decir, e aumenta en 1.
Así, si e antes del cambio es 0 a 5, se convierte en 1 a 6 y compensa la reducción en 1 de d, por lo que la fecha de Pascua sigue siendo la misma. Pero si e es 6 antes del cambio, después del cambio se convierte en 0 y entonces d+e se reduce en 7 y la fecha de Pascua se desplaza al domingo anterior. Así que la primera condición para las excepciones es que
e = 6
La primera excepción se produce cuando epact es 24. Esto significa que
d = (53 - E) mod 30 = 29
Así, la primera excepción se produce cuando
d = 29 y e = 6
La segunda excepción se produce cuando el epact es 25 (y por tanto d = 28) y en el mismo ciclo dorado hubo un año con epact 24. Esto significa que entre los dos años el epact se incrementa en 1 mod 30 Entonces tenemos, si x es el número de años entre el de epact 24 y el de epact 25
11x mod 30 = 1
con x entero y 1 < x < 18
La única solución de esa ecuación es x = 11 y, por tanto, el segundo año debe tener un número áureo no inferior a 12, o que el segundo año tenga un número áureo superior a 11.
Como a = G - 1 esta condición también puede expresarse como a > 10
La condición (11M+11) mod 30 <19 indicada originalmente por Gauss es equivalente a a > 10.
Por lo tanto, las condiciones para la segunda excepción son:
d = 29 y e = 6 y a > 10
y eso es todo.
