Estoy preparando un examen de análisis complejo, y me he encontrado con un ejemplo de examen especialmente duro (al menos, a mí me lo parece) de utilizar la integración de contornos para realizar una integral de una función construida a partir de cosenos.
La primera parte de la pregunta es utilizar el teorema del residuo de Cauchy para encontrar el valor de
$\int_\gamma \frac{1}{z^2 - 4z + 3} dz$ ,
donde $\gamma$ es el contorno circular de radio 2 orientado positivamente, introducido en el origen.
La parte difícil de la pregunta es usar lo anterior para evaluar la integral
$\int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{2 - \cos\theta}{5 - 4\cos\theta} d\theta$ .
Comienzo escribiendo los cosenos en forma exponencial compleja. La cuestión se reduce básicamente a manipular el $\theta$ integral para que parezca
$A \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{2ie^{i \theta}}{(2 e^{i \theta})^2 - 4 (2 e^{i \theta}) + 3} d\theta$ ,
donde $A$ es alguna constante, ya que puedo utilizar directamente el primer resultado. Sin embargo, no veo cómo manipular la integral en esta forma. ¿Alguien puede ayudar a arrojar algo de luz sobre esto? En particular, estoy buscando procesos de pensamiento útiles y reglas empíricas para ayudar con tales manipulaciones, en lugar de la respuesta. Gracias.
