Hay una estrategia principal que utilizo para este tipo de problemas. El teorema clave es el Teorema de Lehmann-Scheffe lo que nos dice que si podemos obtener un estimador insesgado para $\tau(\theta)$ que es puramente una función de una estadística completa y suficiente para $\theta$ [siendo un poco informal con las definiciones] entonces tenemos la BUE única de nuestro objetivo.
La distribución de Poisson es una familia exponencial por lo que sabemos que $S := \sum\limits_{i=1}^n X_i$ es completa y suficiente para $\lambda$ . También sabemos que $S/n$ es la MLE de $\lambda$ .
Para (1) necesitamos encontrar un estimador insesgado de $\lambda^3$ que es sólo una función de $S$ . Sabemos por el principio de invariancia de la MLE que $S^3 / n^3$ es la MLE para $\lambda^3$ así que empezaremos por ahí.
Le site $X_i$ son iid por lo que sabemos que $S \sim Poisson(n\lambda)$ por lo que su MGF es $M_S(t) = e^{n\lambda(e^t-1)}$ . Calculando las tres primeras derivadas de esto nos da que
$$ E(S^3/n^3) = \lambda^3 + 3\lambda^2 / n + \lambda / n^2. $$
Ahora tenemos que eliminar las potencias de orden inferior de $\lambda$ y puede hacerlo mediante una combinación lineal de potencias de $S$ , dándonos ese
$$ E(\bar{X}^3 - \frac{3}{n}\bar{X}^2 + \frac{2}{n^2}\bar{X}) = \lambda^3. $$
Dado que la estadística $T(\vec{X}) = \bar{X}^3 - \frac{3}{n}\bar{X}^2 + \frac{2}{n^2}\bar{X}$ es puramente una función de la estadística completa y suficiente $S$ es el único UMVUE para $\lambda^3$ . Tenga en cuenta que esto requiere $n$ para ser no aleatorio.
Para (2) procederemos por Rao-Blackwellización con $S$ . Esto realmente es sólo Lehmann-Scheffe de nuevo, pero se ve un poco diferente. La idea es que si $W$ es un estimador insesgado para $\tau(\theta)$ y $T$ es una estadística suficiente para $\theta$ puis $\Phi(T) = \mathbb{E}(W|T)$ es a menudo un mejor y nunca un peor estimador de $\tau(\theta)$ que $W$ solo. Tenga en cuenta que $\Phi$ es sólo una función de $T$ por lo que si $T$ también es completa, entonces por Lehmann-Scheffe tenemos la UMVUE única. Así que esto es realmente una ruta algebraica diferente para hacer lo mismo.
Nos han entregado nuestro estimador imparcial diciéndonos que $E(e^X) = e^{\lambda(e-1)}$ [nota que esto es $M_X(1)$ ].
Esto nos dice que $\mathbb{E}(e^{X_1}|S)$ es nuestra UMVUE [nótese que por la propiedad de la torre no hemos cambiado su media]. Vamos a calcular lo que es.
$$ \mathbb{E}(e^{X_1}|S = s) = \sum\limits_{x_1=0}^s e^{x_1} P(X_1 = x_1 | S = s) $$
$$ = \sum e^{x_1} \frac{P(X_1 = x_1 , S = s)}{P(S = s)} = \sum e^{x_1} \frac{P(X_1 = x_1) P(\sum\limits_{i=2}^n X_i = s - x_1) }{P(\sum\limits_{i=1}^n X_i = s)}. $$
Utilizando el hecho de que el $X_i$ son iid y Poisson deberías ser capaz de resolverlo.
