Compruebe si $\frac{x^3+y^3}{|x|+|y|}$ es diferenciable en $(0,0)$

Question

Tenemos la función $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3+y^3}{|x|+|y|},& (x, y) \ne (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

Mi trabajo hasta ahora:

He intentado comprobar si $f$ es continua en $(0,0)$ :

Cuando $x >0, y>0:$

$$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x) = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y} = 0$$

Cuando $x >0, y<0:$ podemos reescribir $y$ como $-y$ con $y>0$

$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x) = \frac{x^3-y^3}{x+y}$

Lo cual no puedo resolver.

He calculado las derivadas parciales:

\begin{align*}\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(0,0)&=\lim\limits_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{|x|}=\lim\limits_{x\to 0} x^2 \mathrm{sgn}(x)= 0\\ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)&=\frac{3x^2(|x|+|y|)-(x^3+y^3)\mathrm{sgn}(x)}{(|x|+|y|)^2} \end{align*}

y análogamente para $y$ .

He intentado comprobar si las derivadas parciales son continuas y he fallado.

Lo he intentado con la definición:

$$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-T(0,0)}{||(x,y)||} = 0,$$ donde $T(x,y) = 0$ .

obtenemos $$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{x^3+y^3}{(|x|+|y|)\sqrt{x^2+y^2}}$$

Y me quedé atrapado aquí.

Answer 1

Sí, las derivadas parciales existen en $(0,0)$ y ambos son iguales a $0$ . Por lo tanto, o bien $f$ es pas diferenciable en $(0,0)$ , o bien es diferencial allí y su derivada allí es la función nula.

Y lo que realmente ocurre es que $f'(0,0)$ es la función nula. De hecho, si $\varphi\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R$ es la función nula, entonces \begin{align}f'(0,0)=\varphi&\iff\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\bigl\lvert f(x,y)-f(0,0)-\varphi(x-0,y-0)\bigr\rvert}{\bigl\lVert(x,y)\bigr\rVert}=0\\&\iff\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\lvert x^3+y^3\rvert}{\bigl(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\bigr)\sqrt{x^2+y^2}}=0.\end{align} Pero, si $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ entonces $$\lvert x^3+y^3\rvert\leqslant2r^3$$ et $$\bigl(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\bigr)\sqrt{x^2+y^2}\geqslant r^2,$$ desde $\lvert\cos\theta\rvert+\lvert\sin\theta\rvert\geqslant\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ . Por lo tanto, $$\frac{\lvert x^3+y^3\rvert}{\bigl(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\bigr)\sqrt{x^2+y^2}}\leqslant r\to_{r\to0}0.$$

Answer 2

Utilizando su cálculo para la derivada parcial, si podemos demostrar que ésta es continua entonces la función es $C^1$ y por tanto la derivada existe en $(0,0$ ). Por lo tanto, tenemos que demostrar que:

$$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)=\frac{3x^2(|x|+|y|)-(x^3+y^3)\mathrm{sgn}(x)}{(|x|+|y|)^2}$$

Tenga en cuenta que sólo queremos asegurarnos de que esto es continuo alrededor de $(0,0)$ . Cuando $y=0$ Esto equivale a

$$\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\biggr\rvert_{0,0}=\frac{3x^2|x|-(x^3)\mathrm{sgn}(x)}{x^2}=\frac{3x\mathrm{sgn}(x)-x\mathrm{sgn}(x)}{x^2}$$

cuyo valor absoluto es como máximo $\frac{2}{x}$ que converge a $0$ . Por tanto, como ambas derivadas parciales son continuas en $(0,0)$ (porque, como ha señalado, el $y$ es equivalente), la función es diferenciable allí.