Condiciones necesarias para la función implícita

Question

El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes para determinar cuándo una función está definida implícitamente por una relación. Me gustaría conocer algunas formas de determinar cuándo no está definida dicha función.

A continuación, un enlace con un ejemplo concreto y una conjetura.

https://math.stackexchange.com/questions/46750/how-to-prove-the-implicit-function-theorem-fails

Answer 1

Con el mismo espíritu que la respuesta de Michael: Sobre las variables complejas, existe un teorema debido a W.F. Osgood (publicado en su "Lehrbuch der Funktionentheorie", 2. Aufl., Bd. 2, Parte 1, Leipzig 1929) sobre la resolubilidad de $w=f(z)$ para un sistema de funciones holomorfas en una vecindad de un punto $a \in \mathbb{C}^n$ que es un punto aislado del conjunto $\{z:f(z)=b:=f(a)\}$ . Esto se discute muy bien en el libro de B.V. Shabat en su libro "Complex analysis" (parte II, sección 14, punto 44 -aunque no estoy seguro de que se incluya en la traducción inglesa del libro-) en términos de resultantes y del Teorema de la Preparación de Weierstrass. Shabat también hace referencia a: M. Herve, "Several Complex Variables. Local Theory", Oxford 1963. Y hay alguna información (sobre el tema del fracaso del teorema de la función implícita) en el libro de Aizenberg y Yuzhakov sobre teoremas de residuos.

Answer 2

Un enfoque natural sería clasificar dichos puntos singulares por la deficiencia del rango del jacobiano. Si la deficiencia es uno, se puede resolver para todas las variables menos una y reducir el problema a una ecuación escalar. El resto es bastante sencillo: La ecuación f(x)=y, con f(0)=0 se puede resolver para x en una vecindad de 0 si el término principal de la expansión de Taylor de f es impar; no siempre se puede resolver si el término principal es par. Si la deficiencia en el rango del jacobiano es de dos, se termina con un sistema de dos ecuaciones, generalmente cuadráticas en el orden principal. Discutir la solvencia de un sistema de este tipo sigue siendo una tarea manejable.

Answer 3

En este contexto, un fenómeno notable a considerar es también la falta de singularidad que puede considerarse un caso de bifurcación .

Answer 4

Sólo un comentario sobre el enlace que has puesto: G=0 implica $4uv=2y^2-2x^2$ por lo que cuando se sustituye en $F=0$ simplemente se obtiene $x^2+y^2+u^2+v^2=0$ que sólo puede ser satisfecha por $x=y=u=v=0$ (si trabaja en $\mathbb{R}^4$ ...)