No, esto significa cosas diferentes. Si el apoyo de $X$ es $B$ entonces $B$ debe ser cerrado, pero no es así si nos limitamos a suponer $P(X\in B)=1$ .
A modo de ejemplo, dejemos que $\{q_k\}$ sea una enumeración de los racionales y suponga $P(X=q_k)=2^{-k}$ , $k\ge1$ . Entonces el soporte de $X$ es $\mathbb R$ ya que $P(X\in U)>0$ para todos los conjuntos abiertos no vacíos $U$ pero $X$ sólo toma valores en $\mathbb Q$ . No es difícil dar un ejemplo de una función $g$ que es continua en $x$ por cada $x\in\mathbb Q$ pero no es continua en todo el $\mathbb R$ . De hecho, podríamos incluso construir tal $g$ para el que el conjunto sobre el que es continua es "pequeño" en algún sentido. Por ejemplo, dejemos que $I=\bigcup_k(q_k-2^{-k}\varepsilon,q_k+2^{-k}\varepsilon)$ donde $\varepsilon>0$ es pequeño, y dejemos que $g(x)=\mathbf1_{I}(x)$ . Entonces $g$ es continua en $x$ si y sólo si $x\in I$ en particular $g$ es continua en $\mathbb Q$ y por lo tanto es continua casi seguramente con respecto a la ley de $X$ pero la medida de Lebesgue de $I$ no es mayor que $2\varepsilon$ que es pequeño.
Por otro lado, si una propiedad se mantiene en el soporte de una medida de probabilidad $\mu$ , entonces también se sostiene $\mu$ -casi seguro. Esto se debe a que $\mu(\operatorname{supp}\mu)=1$ .
