Distribución del proceso de Galton

Question

Dejemos que $1 = Z_0,Z_1,Z_2,\ldots$ sea un proceso de ramificación de Galton-Watson con una descendencia distribución $p_0,p_1,p_2,\ldots$ . Es decir, $p_k$ es la probabilidad de que un individuo tenga $k$ de los hijos. Supongamos que $p_0 = 2/3$ y $p_2 = 1/3$ . Sea $V = Z_0 + Z_1 + Z_2 +\cdots$ .

¿Por qué es que $P(V < \infty) = 1$ y cuál es la función generadora de probabilidad de $V$ ?

Observo que podemos intentar utilizar una matriz de transición, si eso ayuda

Answer 1

Si $Z_1=0$ , $V=1$ . Si $Z_1=2$ , $V=1+V'+V''$ donde $V'$ y $V''$ son copias independientes de $V$ . En el primer caso, que tiene probabilidad $\frac23$ , $V$ es finito. En el segundo caso, que tiene probabilidad $\frac13$ , $V$ es finito si y sólo si $V'$ y $V''$ son ambos finitos.

Introducción de la probabilidad de extinción $q=\mathrm P(V\ \text{finite})$ y la función generadora de probabilidad $u:s\mapsto\mathrm E(s^V)$ se obtiene $$ q=\tfrac23+\tfrac13q^2,\qquad u(s)=\tfrac23s+\tfrac13su(s)^2. $$ La única solución $q$ en $[0,1]$ de la primera ecuación es $q=1$ por lo que $V$ es finito casi con toda seguridad.

La única solución $u$ definido en $[0,1]$ de la segunda ecuación es $u(s)=\frac1{2s}(3-\sqrt{9-4s^2})$ .