Me encontré con unos números que se llamaban números trascendentales. Qué son exactamente quiero con la explicación y por ejemplo
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Noah
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Los números trancedentales son números que no son el cero de un polinomio con coeficientes en $\Bbb Q$ . En realidad existe una noción de números trascendentales sobre cualquier campo, pero suele referirse a $\Bbb Q$ cuando no se especifica el campo.
Por ejemplo, $\sqrt{2}$ no es trascendental, ya que es un cero del polinomio $x^2-2$ . Por otro lado, ambos $e$ y $\pi$ son trascendentales, algo difícil de demostrar.
Los números transendentales son aquellos números que no son la raíz de un polinomio no nulo con coeficientes enteros
El ejemplo más famoso de un número trascendental es $\pi$
$\sqrt2$ es un número irracional pero no es trascendental ya que es la solución de la ecuación $x^2-2 = 0 $
Tal vez se pregunte cómo probar $\pi$ es transendental
Se puede demostrar por contadicción, supongamos $\pi$ es algebraico, entonces $\pi i$ también será algebraico como $i$ es algebraico y por el teorema de Lindemann-Weierstrass, sabemos que $e^{\pi i} = -1$ será trascendental lo cual es una contradicción ya que es la solución de la ecuación $x^2 -1 = 0$
