¿Cómo se calcula el esquema de grupos de E[p] para una curva elíptica E en la característica p?

Question

Sé que la respuesta es $\mu_p \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ si $E$ es ordinario, y $\alpha_p$ si $E$ es supersingular, donde $\mu_p$ y $\alpha_p$ son los núcleos de Frobenius en $\mathbb{G}_m$ y $\mathbb{G}_a$ respectivamente. Pero, ¿por qué es esto cierto?

Supongamos que $E'$ es una elevación de $E$ a la característica 0. Entonces $E'[p] = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ . Si $E$ es ordinario entonces tenemos $E[p] =\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y una forma de conciliar estos dos hechos es tener $E[p] = \mu_p \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ya que el grupo de puntos cerrados de $\mu_p$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ en la característica 0, mientras que en la característica p, es un solo punto (no reducido). Sin embargo, no estoy seguro de por qué ésta es la única posibilidad; creo que tiene que ver con la altura del grupo formal, pero no puedo descifrar los detalles. En Katz-Mazur "Arithmeticic moduli of elliptic curves" (prueba del teorema 2.9.3) dicen que "cualquier grupo p-divisible sobre un campo algebraicamente cerrado es el producto de un grupo formal de Lie conmutativo p-divisible y un número finito de copias de $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ pero no veo por qué esto es cierto.

Para el caso supersingular, estoy aún más confuso. ¿Es $\alpha_p$ el único grupo formal monoparamétrico de altura 2, y si es así, ¿cómo se puede ver esto? Para un esquema afín Spec(R), tenemos $\alpha_p(R) = \mathrm{Spec}(R[x]/(x^p))$ . ¿Es cierto que en la característica 0 tenemos (por ejemplo) $\alpha_p(\mathbb{C}_p) = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ ?

Perdona si esto es un lío, estoy muy confundido, y no he podido encontrar una explicación lo suficientemente simplificada de estas cosas en ningún sitio.

Answer 1

Estimado Maxmoo,

Sólo para ofrecer una perspectiva ligeramente diferente a la dada por Kevin y Brian:

Aunque sus consejos son ciertamente correctos, cuando estaba aprendiendo esto también me resultó muy útil hacer un par de cálculos "con las manos desnudas", como una especie de comprobación de la realidad.

Para ello, comienza con una curva elíptica en char. $2$ De hecho, con dos, de la forma:

$$y^2 + y = x^3$$

y

$$y^2 + x y = x^3 + x $$

Uno de ellos es supersingular, el otro ordinario. (¡No voy a decir cuál es aquí!)

Ahora intente calcular el $2$ -torsión concreta, mediante líneas que pasan por tres puntos y así sucesivamente.

Recuerda que al final lo que buscas es un título $4$ ecuación (es posible que tenga que cambiar variables para ver el punto en el infinito; esto no aparecerá en las ecuaciones afines que te he te he dado). Por teoría general, sabes que esta ecuación no será separable: la estructura del esquema de grupo no reducido estructura del esquema de grupo se mostrará concretamente como inseparabilidad en este polinomio.

En un caso (el de la s.s.) será totalmente inseparable; en el otro (el ordinario) tendrá un grado de inseparabilidad $2$ (así que "mitad" inseparable, "mitad" separable).

Una vez que has hecho el caso de char. $2$ tal vez quieras probar con el carbón. $3$ también (ya que calcular la ecuación de la 3ª torsión también está al alcance de la mano).

La razón por la que sugiero esto es que recuerdo, cuando estaba aprendiendo estas cosas, que todos los estos esquemas de grupo (especialmente los no reducidos) parecían bastante efímeros, pero después de haber hecho este tipo de cálculos explícitos, tenía un modelo mental mucho más concreto para lo que la teoría general estaba hablando, lo que me dio mucha más confianza en leer y argumentar sobre este tipo de cosas.

Mis mejores deseos,

Matt