Encontrar todos los restos

Question

Necesito tu ayuda una vez más.
Tengo una tarea muy difícil de hacer, pero no sé cómo hacerlo :)
Necesito encontrar todos los restos posibles de $6^n \bmod 9$ .
Es muy importante para mí :)
Gracias por la ayuda,
John

Answer 1

El resto es $0$ si $n \ge 2$ , ya que entonces $36$ divide $6^n$ . Se pueden calcular por separado los restos cuando $n=0$ y $n=1$ . No es una tarea difícil.

Answer 2

Prueba con n=0, 1, 2, 3, 4... ¿ves algún patrón?

Answer 3

Más sencillo:

$$6^n=2^n 3^n$$

Para $n\geq 2$ tenemos un factor de $9$ por lo que el resto es $0$ . De lo contrario, se obtiene $1$ y $6$ que debería ser bastante fácil de calcular.

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Bueno, usando el teorema del binomio, $$6^n=(9-3)^n=9^n+\text{many multiples of 9}+(-3)^n $$

entonces, $\mod 9$ Debemos tener

$$6^n \mod 9\equiv (-3)^n\mod 9$$

Si $n\geq 2$ tenemos que el resto es $0$ ya que tenemos $3^2=9$ y a partir de ahí siempre tenemos un factor de $9$ . Y para $n=0$ y $n=1$ el cálculo es sencillo.