encontrar el número de soluciones para una ecuación dada

Question

Supongamos que tenemos las siguientes ecuaciones y condiciones Sea $k$ sea el número de soluciones reales de la ecuación $e^x+x-2=0$ en el intervalo $[0, 1]$ y y dejar que $n$ sea el número de soluciones reales que no están en $[0,1]$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

$k=0$ y $n=1$

$k=1$ y $n=0$

$n=k=1$

$k>1$

$n>1$

En primer lugar lo que he probado es lo siguiente: si diferenciamos obtenemos lo siguiente $e^x=-1$ ¿pero cómo es posible?, usando wolfram alpha obtuve este resultado

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ex%2Bx-2%3D0

¿pero cómo demostrarlo usando un procedimiento matemático? ¿tengo que usar el método de Newtons para calcular la raíz real o hay algún teorema específico que me ayude a determinarla más fácilmente?

Answer 1

Considere las funciones $f(x) = e^x$ et $g(x) = 2 - x$ . Ahora, las soluciones para su ecuación en el intervalo $[0,1]$ son los puntos donde $f$ et $g$ intersección. ¡Intenta graficarlo!

Answer 2

Bien, traslado mi comentario como respuesta:

Utiliza la prueba de la derivada para ver si la función es creciente o decreciente Una función estrictamente creciente/decreciente debe ser inyectiva, por lo que puede tener como máximo un cero. Tenga en cuenta que la función $e^x + x - 2$ toma valores positivos y negativos evaluando en 0 y 1. ¿Qué puedes concluir por el teorema del valor intermedio?

Además, no hay que tratar de encontrar puntos extremos para resolver esta pregunta, ya que los ceros de $e^x + x -2$ no tienen por qué ser puntos extremos.