¿Si todo conjunto compacto es cerrado, entonces es el espacio Hausdorff?

Question

Sé que en un espacio de Hausdorff, todo conjunto compacto es cerrado.

¿Sin embargo, es cierto que si todo conjunto compacto es cerrado, entonces el espacio es necesariamente Hausdorff?

Answer 1

Estoy respondiendo a la pregunta en el título. Que $X$ ser un conjunto de innumerables, y que $\tau$ ser la topología Co contable en $X$. Los conjuntos compactos en $\langle X,\tau\rangle$ son precisamente los conjuntos finitos, que son todos cerrados, pero $X$ no es Hausdorff.