¿Cuál es la derivada de $x\sin x$ ?

Question

Ok, así que sé la respuesta de $\frac{d}{dx}x\sin(x) = \sin(x)+ x\cos(x)$ ...pero, ¿cómo se llega a eso exactamente? Lo sé. $\frac{d}{dx} \sin{x} = \cos{x}$ . Pero, ¿dónde se encuentra el $\sin(x)$ (en la respuesta) ¿entrar?

Answer 1

Un poco de intuición sobre la regla del producto:

Suponga que tiene un rectángulo cuya altura en el momento $t$ es $h(t)$ y cuya anchura en el momento $t$ es $w(t)$ . Entonces el área en el momento $t$ es $A(t)=h(t)w(t)$ . Ahora, al cambiar el tiempo, ¿cómo cambia el área?

(Por favor, perdonen mi uso de la pintura aquí).

Digamos que el rectángulo blanco era del tiempo $t$ y el rectángulo mayor en el momento $t+\Delta t$ . Ganamos tres nuevas regiones de área: la verde, la azul y la gris.

La zona verde es $\Delta h\cdot w(t)$ , donde $\Delta h$ es el cambio de altura desde el momento $t$ al tiempo $t+\Delta t$ ; la zona azul es, igualmente, $\Delta w\cdot h(t)$ y la zona gris es $\Delta h\cdot\Delta w$ . Por lo tanto, tenemos $$ \Delta A=\Delta h\cdot w(t)+\Delta w\cdot h(t)+\Delta h\cdot\Delta w. $$ Ahora, cuando $\Delta t$ es realmente pequeño, esperamos que $\Delta h$ et $\Delta w$ para ser realmente pequeño también; así, su producto es pequeño . Por lo tanto, $$ \Delta A\approx \Delta h\cdot w(t)+\Delta w\cdot h(t), $$ o $$ \frac{\Delta A}{\Delta t}\approx\frac{\Delta h}{\Delta t}\cdot w(t)+\frac{\Delta w}{\Delta t}\cdot h(t). $$ ¿Se parece esto en algo a la regla del producto? Dejando $\Delta t\rightarrow0$ esta aproximación (debidamente formalizada, por supuesto) nos lleva a la fórmula $$ \frac{d}{dt}\left[w(t)\cdot h(t)\right]=\frac{dA}{dt}=\frac{dh}{dt}\cdot w(t)+\frac{dw}{dt}\cdot h(t) $$

Answer 2

Sugerencia : Utilice el regla del producto para derivados .

Alternativamente, proceda por definición, utilizando las propiedades trigonométricas (continuidad, suma de ángulos):

$$\begin{align}\frac{d}{dx}[x\sin x] &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)\sin(x+h)-x\sin x}h\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{h\sin(x+h)}h+x\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}h\\ &= \lim_{h\to 0}\sin(x+h)+x\lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}h\\ &= \sin x+x\cos x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}h+x\sin x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}h.\end{align}$$ Queda entonces por demostrar que $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin h}h=1$ et $\lim\limits_{h\to 0}\frac{\cos h-1}h=0,$ ya sea como "límites especiales" o por otros medios.

Answer 3

Dependiendo de lo familiarizado que estés con la regla de la cadena y la derivada de las funciones logarítmicas, podrías diferenciar $x \sin{x}$ usando esto método alternativo que no utiliza directamente la regla del producto,

$$\begin{align} y &= x \sin{x} \\ \ln(y) &= \ln( x \sin{x}) \\ \ln(y) &= \ln(x) + \ln(\sin{x}) \\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \\ \frac{dy}{dx} &= \left( \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right) \cdot y \\ \frac{dy}{dx} &= \left( \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right) \cdot x \sin{x}\\ \frac{dy}{dx} &= \sin{x} + x \cos{x}. \\ \end{align}$$

Answer 4

Probablemente se espera que lo hagas por la regla del producto, que dice:

$(v \cdot w)'=vw'+v'w$

Configurar $v=x$ et $w=\sin x$ (no importa cuál es cuál)

$v'=1$ et $w'=\cos x$ . Sustituyendo en la fórmula:

$(v \cdot w)'=x \cos x+(1) \cdot \sin x$

$x \cos x+ \sin x$

que es su respuesta.

Answer 5

$x\sin(x)$ es el producto de dos funciones. Es más fácil ver que hay dos funciones aquí si reescribes los componentes del problema como $f(x)=x$ et $g(x)=\sin(x)$ . Si las dos funciones $f(x)$ et $g(x)$ son diferenciables (la derivada existe), entonces su producto también es diferenciable.

Ahora aplica la regla del producto: ${(fg)}' = {f}'g+f{g}'$ para conseguir $x\cos(x)+\sin(x)$ .