Ok, así que sé la respuesta de ddxxsin(x)=sin(x)+xcos(x) ...pero, ¿cómo se llega a eso exactamente? Lo sé. ddxsinx=cosx . Pero, ¿dónde se encuentra el sin(x) (en la respuesta) ¿entrar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Un poco de intuición sobre la regla del producto:
Suponga que tiene un rectángulo cuya altura en el momento t es h(t) y cuya anchura en el momento t es w(t) . Entonces el área en el momento t es A(t)=h(t)w(t) . Ahora, al cambiar el tiempo, ¿cómo cambia el área?
(Por favor, perdonen mi uso de la pintura aquí).
Digamos que el rectángulo blanco era del tiempo t y el rectángulo mayor en el momento t+Δt . Ganamos tres nuevas regiones de área: la verde, la azul y la gris.
La zona verde es Δh⋅w(t) , donde Δh es el cambio de altura desde el momento t al tiempo t+Δt ; la zona azul es, igualmente, Δw⋅h(t) y la zona gris es Δh⋅Δw . Por lo tanto, tenemos ΔA=Δh⋅w(t)+Δw⋅h(t)+Δh⋅Δw. Ahora, cuando Δt es realmente pequeño, esperamos que Δh et Δw para ser realmente pequeño también; así, su producto es pequeño . Por lo tanto, ΔA≈Δh⋅w(t)+Δw⋅h(t), o ΔAΔt≈ΔhΔt⋅w(t)+ΔwΔt⋅h(t). ¿Se parece esto en algo a la regla del producto? Dejando Δt→0 esta aproximación (debidamente formalizada, por supuesto) nos lleva a la fórmula ddt[w(t)⋅h(t)]=dAdt=dhdt⋅w(t)+dwdt⋅h(t)
Sugerencia : Utilice el regla del producto para derivados .
Alternativamente, proceda por definición, utilizando las propiedades trigonométricas (continuidad, suma de ángulos):
ddx[xsinx]=lim Queda entonces por demostrar que \lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin h}h=1 et \lim\limits_{h\to 0}\frac{\cos h-1}h=0, ya sea como "límites especiales" o por otros medios.
Dependiendo de lo familiarizado que estés con la regla de la cadena y la derivada de las funciones logarítmicas, podrías diferenciar x \sin{x} usando esto método alternativo que no utiliza directamente la regla del producto,
\begin{align} y &= x \sin{x} \\ \ln(y) &= \ln( x \sin{x}) \\ \ln(y) &= \ln(x) + \ln(\sin{x}) \\ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \\ \frac{dy}{dx} &= \left( \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right) \cdot y \\ \frac{dy}{dx} &= \left( \frac{1}{x} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right) \cdot x \sin{x}\\ \frac{dy}{dx} &= \sin{x} + x \cos{x}. \\ \end{align}
x\sin(x) es el producto de dos funciones. Es más fácil ver que hay dos funciones aquí si reescribes los componentes del problema como f(x)=x et g(x)=\sin(x) . Si las dos funciones f(x) et g(x) son diferenciables (la derivada existe), entonces su producto también es diferenciable.
Ahora aplica la regla del producto: {(fg)}' = {f}'g+f{g}' para conseguir x\cos(x)+\sin(x) .