¿Cuándo los módulos y las representaciones no son lo mismo?

Question

Llevo un tiempo tratando de concretar la relación entre las representaciones y los módulos. Para enmarcar la cuestión, voy a poner aquí la situación estándar que tengo en mente:

Un anillo $R$ vive en la categoría Ab de grupos abelianos como un monoide interno $(\mu_R, \eta_R)$ . Un módulo es entonces sólo un grupo abeliano $A$ y un mapa $m : R \otimes A \rightarrow A$ que conmuta con la estructura del monoide de la forma esperada.

Alternativamente, tomemos un grupo abeliano $A$ y mira su grupo de endomorfismos $[A,A]$ . Esto tiene un monoide interno $(\mu_A, \eta_A)$ sólo tomando la composición y la identidad. Entonces una representación es sólo un homomorfismo monoide $(R, \mu_R, \eta_R) \rightarrow (A, \mu_A, \eta_A)$ en Ab. Es decir, un homomorfismo de anillo.

Pero entonces, Ab es monoidal cerrado, por lo que estos son el mismo concepto bajo la iso

$$\hom(R\otimes A, A) \cong \hom(R, [A,A])$$

Esta idea parece funcionar para cualquier categoría cerrada en la que se quiera relacionar una multiplicación con la composición. Entonces, mi pregunta es, ya que estas cosas son isomorfas en un contexto tan general, ¿por qué se enseñan como dos conceptos separados? ¿Es meramente pedagógico, o hay ejemplos útiles en los que los módulos y las representaciones son distintos?

Answer 1

Para ampliar la respuesta de Tom, la palabra "representación" es una palabra del siglo XIX que originalmente significaba "homomorfismo de grupo". Si $f:G \to H$ es un homomorfismo de un grupo $G$ a un grupo $H$ entonces $f(g)$ "representa" el elemento $g$ . $H$ se considera un grupo "familiar" o "explícito", normalmente un grupo de matrices, pero a veces también un grupo de permutación.

La palabra "módulo" es una palabra del siglo XX (creo) que significa "espacio vectorial generalizado".

Como se ha señalado, la representación de un grupo $G$ equivale a un $k[G]$ -módulo. Hoy en día los términos son en gran medida intercambiables; también se puede hablar de una representación de un álgebra en lugar de un grupo. Ciertamente, se puede añadir la topología a las condiciones, por ejemplo, utilizando el grupo $C^*$ -de un grupo topológico localmente compacto.

En la medida en que todavía hay una distinción útil, hay una diferencia de énfasis. Si un anillo $R$ (o un grupo o lo que sea) actúa sobre un grupo abeliano $A$ y considera que su acción es una estructura de bajo nivel, análoga a la multiplicación de un vector por un escalar, entonces debe llamar a $A$ un $R$ -módulo. Por otro lado, si se piensa en la acción como un efecto geométrico de alto nivel, análogo a un grupo que actúa sobre una variedad, entonces debería llamarse representación. Si no te importa, entonces puedes usar cualquiera de los dos términos o ambos y todo está bien, AFAIK :-). Posiblemente la palabra "módulo" está suplantando poco a poco a la palabra "representación", porque es una palabra más corta y más moderna y general.

Answer 2

Esta es mi perspectiva de teórico de la representación: la diferencia clave entre representaciones y módulos es que las representaciones son "no lineales", mientras que los módulos son "lineales". Me centraré en el caso de los grupos por ser el más familiar, pero esto se aplica de forma más general.

Como ya ha mencionado Greg, en el sentido más general, una representación es un homomorfismo $f:G\to H,$ y normalmente no hay una estructura lineal (o aditiva) en $H$ es decir, el conjunto $f(g)$ no tiene por qué estar cerrado bajo sumas; de hecho, si $H$ es un grupo no abeliano, por ejemplo el grupo simétrico, la noción de suma ni siquiera tiene sentido (si $H=GL(V)$ entonces podemos ver sus elementos como endomorfismos de $V$ y añadirlos, pero esto no es natural ya que, por definición, $f$ es compatible con multiplicativo estructura). En cambio, un módulo implica una lineal acción $G\times V\to V,$ que luego se "completa" permitiendo combinaciones lineales arbitrarias, lo que conlleva ciertas ventajas técnicas.

He aquí un ejemplo de una construcción muy útil y que tiene mucho sentido desde el punto de vista de la teoría de los módulos, pero no desde el de la representación: el cambio de escalares. Dado un módulo $M$ sobre un anillo de grupo $R[G]$ y un homomorfismo de anillo conmutativo $R\to S,$ se obtiene un módulo $S\otimes_R M$ sobre el anillo de grupo $S[G]$ . Los ejemplos más comunes son las extensiones de escalares (por ejemplo, de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ de un campo $K$ de definición al campo de división, de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}_p$ ) y, más concretamente, las reducciones (por ejemplo, de $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z}_p$ a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ). El lenguaje de los módulos es, como es de esperar, muy útil para proporcionar descripciones categóricas de varias operaciones sobre representaciones, como los funtores de inducción y restricción,

$$Ind_H^G: H\text{-mod}\to G\text{-mod}\ \text{ and }\ Res_H^G: G\text{-mod}\to H\text{-mod},$$

donde $H$ es un subgrupo de $G,$ o la estructura monoidal en $G$ -mod.

Por último, he aquí dos ilustraciones de la naturaleza complementaria de los dos enfoques, además del caso de los grupos, en el álgebra lineal. Una única transformación lineal $T:V\to V$ en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ en $K$ es más naturalmente visto como una representación (sin estructura aditiva); en este caso, es una representación del carcaj con un solo vértice y un solo bucle. Desde este punto de vista, la clasificación hasta el isomorfismo es un problema de clases de conjugación de transformaciones lineales,

$$T\to gTg^{-1},\ g\in GL(V).$$

Por el contrario, en la descripción del estilo del módulo que asociamos con $T$ un módulo sobre el anillo $K[x]$ de polinomios en una variable sobre $K$ y el problema de clasificación se reduce a la estructura de módulos sobre $K[x]$ que es un PID, con todas las consecuencias habituales. ( En este caso, el panorama del módulo es más esclarecedor. ) Si consideramos un operador lineal $S:V\to W$ entre dos espacios vectoriales diferentes,

$$S\to hSg^{-1},\ g\in GL(V),\ h\in GL(W),$$

y se realiza una clasificación hasta el isomorfismo mediante la reducción de filas y columnas. El carcaj correspondiente $\circ\to\circ$ es una sola flecha que conecta dos vértices distintos, pero su álgebra de trayectoria es menos familiar. ( Aquí el panorama de la teoría de la representación es más esclarecedor. )

Answer 3

Es cierto que la categoría de representaciones de un grupo $G$ sobre un campo $k$ es equivalente a la categoría de módulos del anillo de grupo $k[G]$ Y a menudo es productivo replantear las preguntas sobre las representaciones sobre las preguntas sobre los módulos. A continuación, doy algunos ejemplos de estructuras que son más fáciles de discutir en términos de representaciones. Pero, como indicaré, suele ser posible reformular en términos de módulos con suficiente esfuerzo.

Productos tensores: Si $V$ et $W$ son dos representaciones de $G$ entonces $V \otimes W$ tiene una estructura natural como $G$ -representación. Para $k[G]$ esto no es cierto; el producto tensorial tiene que ser añadido como estructura adicional en la categoría $k[G]$ -rep. He aquí un ejemplo explícito: Sea $G=\mathbb{Z}/4$ y que $H = \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$ . Entonces $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ son anillos isomórficos, pero las estructuras tensoriales en $\mathbb{C}[G]$ -módulos y $\mathbb{C}[H]$ -módulos no son equivalentes. El mismo problema existe con los duales. La gente a la que le gustan más los anillos que los grupos dirá que la cuestión es que estoy hablando de la estructura del álgebra de $k[G]$ cuando debería hablar de la estructura del álgebra de Hopf.

Topología: Supongamos que $G$ es un grupo topológico (quizás un grupo de Lie) y $k$ un campo topológico (tal vez $\mathbb{R}$ ). Entonces una representación continua de $G$ es un mapa $G \times V \to V$ que es una acción de grupo, $k$ -lineal, y continua. Me imagino que hay una manera de poner una topología en $k[G]$ por lo que una representación continua es una $k[G]$ -tal que $k[G] \times V \to V$ es continua, pero no la he visto. Y esto empeorará con adjetivos como suave, algebraico, ...

Answer 4

Yo enseñaría que un $R$ -es un grupo abeliano $A$ más un mapa de conjuntos $R\times A\to A$ satisfacer ciertas identidades. Probablemente también señalaría que esto es lo mismo que un grupo abeliano $A$ más un homomorfismo de anillo $R\to End(A)$ . También me gustaría señalar que "espacio vectorial" es el término tradicional para "módulo" cuando $R$ es un campo.

Del mismo modo, enseñaría que una acción de un grupo $G$ en un conjunto $X$ es un mapa de conjuntos $G\times X\to X$ satisfaciendo ciertas identidades, y probablemente también señalaría que eso es lo mismo que un homomorfismo de grupo $G\to Aut(X)$ y si les pareciera apropiado a esos alumnos, también diría que este segundo punto de vista es útil para generalizar la idea y hacer que los grupos actúen sobre cosas distintas de los conjuntos.

Una acción de un grupo $G$ en un $k$ -módulo es lo mismo que un módulo para el anillo de grupo $kG$ . También se puede llamar a esto una representación de $G$ en $k$ . Esto no se llama tradicionalmente una representación de $kG$ .

El hecho de que haya definiciones superpuestas es un mero accidente histórico. La palabra "módulo" se utilizaba en casos especiales mucho antes de que existiera la teoría de las categorías, incluso antes de que existiera la teoría de los anillos abstractos tal como la conocemos. Lo mismo ocurría con la palabra "representación". El hecho de que los dos términos se sigan utilizando no se debe a que alguien haya decidido una buena razón para mantenerlos a ambos; simplemente han sobrevivido, como hacen las palabras.