Si $E/\mathbf Q$ es una curva elíptica y $n$ es impar, entonces el $n$-torsión $E(\mathbf Q)[n]$ es cíclico; ¿prueba de primaria?

Question

Sé que esto es la continuación de la existencia y la no-degeneración de la Weil emparejamiento. Una consecuencia de la existencia de la Weil emparejamiento es que, si la totalidad de $n$-torsión se define sobre$\mathbf Q$, $n$- th raíces de la unidad $\mu_n \subseteq \mathbf Q$. Por supuesto, esto implica $n=2$. Así, por una extraña primer $p$, $E(\mathbf Q)[p]$ es cíclica, es decir, un subgrupo de $\mathbf Z/p \times \mathbf Z/p$. Poner esta información en conjunto para varios primos dividiendo $n$ muestra que, para un general impar $n$, $E(\mathbf Q)[n]$ es cíclico.

Pero esto me parece de sobra. Podría esta simple hecho de ser probado sin el uso de la Weil emparejamiento?

Answer 1

Aquí está una analítica/topológica de prueba (también se puede sustituir $\Bbb Q$ con cualquier campo contenida en $\Bbb R$) :

Ver el $E(\Bbb R)$ sentado en el interior del complejo torus $E(\Bbb C) \cong \Bbb C / \Lambda$. Topológicamente, ha dimensión $1$ (a nivel local se ve como una línea), y tiene uno o dos de los componentes conectados (dependiendo del número de raíces reales de $x^3- g_2x - g_3$ cuando se pone la curva de Weierstrass en forma normal)

Escoge un paralelogramo fundamental para $\Bbb C/\Lambda$ de manera tal que el componente conectado de $0$ es un lado de la de dominio (esto equivale a elegir una buena base para $\Lambda$). Entonces es claro que $E(\Bbb R) \cong \Bbb R/\Bbb Z$ si existe un componente, y $E(\Bbb R) \cong \Bbb R/\Bbb Z \times \Bbb Z /2\Bbb Z$ si tiene dos.

Ahora, usted necesita simplemente para comprobar que el $n$-torsión de los dos grupos es cíclica, y desde $E(\Bbb Q)$ es un subgrupo de $E(\Bbb R)$, $n$- torsión es un subgrupo de ese grupo cíclico, por lo que es cíclico.