Álgebra asociativa generada por Im(a) e Im(b)

Question

Soy un completo novato y estoy leyendo "Los Octoniones" de Báez.

Una afirmación es que en un álgebra bien normada y alternativa $A$ que para $a,b \in A$ el álgebra generada por $\text{Im}(a)$ y $\text{Im}(b)$ ya contiene $a,a^*, b, b^*$ .

Si miro $\mathbb{C}$ Esto parece bastante claro, pero no he sido capaz de mostrarlo en sentido abstracto.

Answer 1

Significa $\mathbb{R}$ -subálgebras, por lo que cualquier subálgebra contendría los escalares $\mathbb{R}$ que son ortogonales a los elementos imaginarios puros en $\mathrm{Im}(A)$ . Así, si una subálgebra contenida $\mathrm{Im}(a)$ también debe contener la parte real $\mathrm{Re}(a)\in\mathbb{R}$ no importa lo que sea, por lo que contiene la suma y la diferencia

$$ a=\mathrm{Re}(a)+\mathrm{Im}(a), \quad a^\ast =\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a). $$