Parte de grado cero de la localización de un grado plano $A$ -El módulo es plano.

Question

Esta cuestión surge de la demostración de Thm 3.9.9 en Hartshorne . Sea $T$ sea un esquema integral noetheriano y $X \subseteq \mathbb{P}^n_T$ sea un subesquema cerrado. La prueba muestra que los siguientes son equivalentes

(i) $\mathscr{F}$ es plana sobre $T$ ;

(ii) $H^0(X,\mathscr{F}(m))$ es un programa gratuito $A$ -de rango finito, para todo $m \gg 0$ .

Al demostrar que (ii) implica (i), dejó que $M = \oplus_{m\ge m_0}H^0(X,\mathscr{F}(m))$ donde $m_0$ es un número entero grande s.t. $H^0(X,\mathscr{F}(m))$ son todos libres. A continuación, $\mathscr{F} = \tilde{M}$ . Pero luego dice que desde $M$ es un plano libre por lo tanto $A$ -módulo, $\mathscr{F}$ también es plana sobre $A$ . Sin embargo, el tallo de $\mathscr{F}$ no se obtiene simplemente por localización. Debemos localizar $M$ y tomar el $0$ parte de grado. Entonces, ¿cómo podemos demostrar que la parte de grado cero de la localización de un grado plano $A$ -El módulo es plano.

Answer 1

Lema (Apilados 00JR ): Sea $S$ sea un anillo graduado. Sea $M$ sea un grado $S$ -módulo. Sea $\mathfrak{p}$ sea un elemento de $\operatorname{Proj} S$ . Sea $f\in S$ un elemento homogéneo de grado positivo para que $f\notin\mathfrak{p}$ es decir, $\mathfrak{p}\in D_+(f)$ . Sea $\mathfrak{p}'\in S_{(f)}$ sea el elemento de $\operatorname{Spec}(S_{(f)})$ correspondiente a $\mathfrak{p}$ . Entonces $S_{(\mathfrak{p})} = (S_{(f)})_{\mathfrak{p}'}$ y de forma compatible $M_{(\mathfrak{p})} = (M_{(f)})_{\mathfrak{p}'}$ .

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Hartshorne se redujo al caso $T=\operatorname{Spec} A$ para $A$ un dominio local noetheriano. Sea $S=A[x_0,\cdots,x_n]$ , $\mathfrak{p}\subset S$ un primo graduado, y $M$ un plano graduado $S$ -módulo. Dado que $D_+(x_i)$ portada $\Bbb P^n_A$ podemos elegir $x_i$ para que $\mathfrak{p}\in D_+(x_i)$ . Aplicando el lema, vemos que $M_{(\mathfrak{p})} = (M_{(x_i)})_{\mathfrak{p}'}$ .

A continuación, observamos que $S_{x_i}=S_{(x_i)}[x_i,x_i^{-1}]$ Así que $S_{(x_i)}\to S_{x_i}$ es una extensión plana de anillos. Por lo tanto, como $M_{x_i}$ es un piso $S_{x_i}$ -es también un módulo plano $S_{(x_i)}$ -módulo. Como una suma directa de módulos es plana si cada sumando es y $M_{x_i}$ es la suma directa de sus trozos graduados, vemos que $M_{(x_i)}$ es un piso $S_{(x_i)}$ -módulo. Localizar en $\mathfrak{p'}$ vemos que $(M_{(x_i)})_{\mathfrak{p}'}$ es un piso $(S_{(x_i)})_{\mathfrak{p}'}$ -y aplicando de nuevo el lema vemos que esto significa que $M_{(\mathfrak{p})}$ es un piso $S_{(\mathfrak{p})}$ -módulo.