Dejemos que $g(n)$ sea el número de formas de escribir $2n$ como la suma de dos primos. Definir $G(n) = g(2) + \cdot \cdot \cdot + g(n)$ . ¿Existe alguna asíntota o límite conjeturado o conocido para $G(n)$ ? En concreto, ¿se sabe o se conjetura que $G(n) \sim \frac{n^2}{\log(n)^2}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Incondicionalmente tenemos que $$G(N)\sim\frac{2N^2}{\log^2(2N)}.$$
Para ver por qué, dejemos que $1_{\mathcal{P}}(n)$ denotan la función indicadora de los primos Impares. Entonces $$G(N)=\sum_{n=1}^{2N} \sum_{a+b=n} 1_{\mathcal{P}}(a)1_{\mathcal{P}}(b).$$ Desde $1_{\mathcal{P}}(m)=0$ cuando $m<0$ podemos extender la suma interna para obtener
$$G(N)=\sum_{n=1}^{2N} \sum_{a=1}^{2N} 1_{\mathcal{P}}(a)1_{\mathcal{P}}(n-a),$$ y luego cambiando el orden de la suma
$$G(N)=\sum_{a=1}^{2N} 1_{\mathcal{P}}(a)\sum_{n=1}^{2N} 1_{\mathcal{P}}(n-a)$$
$$=\sum_{a=1}^{2N} 1_{\mathcal{P}}(a)\sum_{n=1}^{2N-a} 1_{\mathcal{P}}(n)$$
$$=\sum_{a=1}^{2N} 1_{\mathcal{P}}(a)(\pi(2N-a)-1),$$ y utilizando el teorema de los números primos, esto es asintótico a $$\frac{2N^2}{\log^2(2N)}.$$
