Pregunta:
Supongamos que la ecuación $x^3-hx^2+kx-9=0$ sólo tiene una raíz real que tiene un valor de $1$ . Encuentre el rango de valores de $k$ .
Realmente no tengo ni idea cuando se trata de una ecuación cúbica. ¿Algún consejo para resolverla?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Chessanator
Puntos
397
Sabes que un factor de esta ecuación cúbica es $(x-1)$ desde la raíz. Por lo tanto, se puede equiparar el polinomio anterior a $(x-1)(x^2 + ax +b)$ y utilizarlo para obtener la relación entre $h$ y $k$ por un lado y $a$ y $b$ por el otro.
También sabe que $(x^2 +ax +b)$ no tiene ninguna raíz real. Usando el discriminante deberías tener suficiente para terminar la pregunta.
Yo empezaría por factorizar el polinomio a partir de la ruta conocida. Haciendo la división del polinomio $(x^3-hx^2+kx-9) : (x-1)$ .
Al hacerlo, obtendrás un residuo, que debe ser cero (ya que factorizas por una raíz), por lo que obtendrás una restricción en $k$ y $h$ para garantizar $1$ siendo una raíz.
Además, tendrás un polinomio cuadrático, que tiene que tener raíces complejas. Al inspeccionar la raíz del $pq$ -sea negativa, hay una restricción adicional en $k$ y $h$ .
