Continuidad de la distribución estacionaria de $M/G/1$ cola con respecto a la tasa de entrada

Question

Dejemos que $(\lambda_n)_{n\geq0}$ sea una secuencia de números positivos tal que $\lambda_n\rightarrow \lambda$ como $n\rightarrow +\infty$ . Estos $\lambda_n$ son los parámetros de una secuencia de Procesos de Poisson $N(\lambda_n)$ . Sea $(S_i)_{i\geq0}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. positivas y razonablemente suaves (digamos que tienen primer y segundo momento finitos).

A estos objetos podemos asociar una secuencia de $M/G/1$ colas $(Q_n(t))_{n\geq0}$ definiendo el proceso de llegada como $N(\lambda_n)$ y los tiempos de servicio como $(S_i)_{i\geq0}$ . Si $\rho_n := \lambda_n/\mathbb E [ S_1] < 1$ sus distribuciones estacionarias existen y se definen como $(Q_n)_{n\geq0}$ . Supongamos también que $\rho := \lambda /\mathbb E[S_1] <1$ .

Mi pregunta es: ¿es cierto que $Q_n \stackrel{\text{d}}{\rightarrow} Q$ , donde $Q$ es la distribución estacionaria del $M/G/1$ cola con tasa de entrada $\lambda$ y tiempos de servicio $(S_i)_{i\geq0}$ ?

Answer 1

Sí. Para ser preciso en este sentido, es posible que tenga que especificar más sobre qué espacio está trabajando, etc. Por ejemplo, el número de clientes en la cola no es Markov para una distribución general de tiempo de servicio, así que tienes que tener cuidado con lo que quieres decir con "distribución estacionaria". Podrías mirar la cantidad total de trabajo en la cola, o alternativamente el número de clientes en la cola junto con el tiempo de servicio restante del cliente actualmente en servicio.

En cualquier caso, acoplando los procesos de llegada para diferentes tasas de llegada, y utilizando una construcción de acoplamiento desde el pasado (es decir, la construcción de Loynes) para definir una evolución estacionaria de la cola, se puede obtener la convergencia en la distribución (de hecho, la convergencia en la variación total). Acoplar los procesos de llegada de Poisson de forma que los puntos de llegada en $N(\lambda_i)$ están incluidos en los de $N(\lambda_j)$ para cuando $\lambda_i < \lambda_j$ . Acoplar los procesos de tiempo de servicio para que un cliente que llega a la misma hora en diferentes sistemas tenga el mismo tiempo de servicio.

Consideremos ahora el estado de la cola en el momento 0. Fijemos unos $\delta$ con $\lambda+\delta<\mathbb{E}[S_1]$ . Sea $\epsilon>0$ . Para $T$ lo suficientemente grande, con una probabilidad de al menos $1-\epsilon$ la cola con tasa de llegada $\lambda+\delta$ está vacío en algún momento de $[-T, 0]$ . A partir del acoplamiento, todos los sistemas con tasa de llegada $\lambda_n <\lambda+\delta$ también estará vacía siempre que el $(\lambda+\delta)$ -sistema está vacío. Ahora, como $n\to\infty$ para que $\lambda_n\to\lambda$ la probabilidad de que el proceso de llegada a la tasa $\lambda_n$ es idéntico al proceso de llegada a la tasa $\lambda$ en el intervalo $[-T,0]$ tiende a 1. En particular, para $n$ lo suficientemente grande esto sucede incluso con probabilidad al menos $1-\epsilon$ .

Pero si dos sistemas están vacíos en el mismo punto de $[-T,0]$ y sus procesos de llegada coinciden en $[-T,0]$ entonces están en el mismo estado en el momento $0$ . Así que tenemos que para $n$ suficientemente grande, el estado de tiempo 0 en el $\lambda$ sistema y el tiempo- $0$ estado en el $\lambda_n$ -son iguales con una probabilidad de al menos $1-2\epsilon$ .

Así que, efectivamente, la distancia de variación total entre el estado de tiempo 0 en el $\lambda_n$ y el estado de tiempo 0 en el $\lambda$ El sistema tiende a 0. Pero todo es estacionario, así que el estado de tiempo 0 es sólo una muestra de la distribución estacionaria.