Cómo probar que $\lim(\underset{k\rightarrow\infty}{\lim}(\cos(|n!\pi x|)^{2k}))=\chi_\mathbb{Q}$

Question

Posibles Duplicados:
Cómo es esta llamada? Racionales y irrationals

Por favor me ayudan a demostrar, que $$\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\left(\underset{k\rightarrow\infty}{\lim}(\cos(|n!\pi x|)^{2k})\right)=\begin{cases} 1 & \iff x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \iff x\notin\mathbb{Q} \end{casos}$$

Parece muy complicado, pero en calc I. he tratado de utilizar la serie de expansiones de cos, pero no llevan a la respuesta. Gracias de antemano!

Editar

Por favor, no use demasiado técnicas avanzadas.

Answer 1

Rudin bebé tiene esto como un ejemplo.

Answer 2

Sugerencia: Demostrar eso si $x \in \mathbb{Q}$, entonces existe un $N$ tal que $n > N$ $n! \pi x$ es un entero múltiplo de $2\pi$. La conclusión de que tiende a 1.

Demostrar eso si $x \not \in \mathbb{Q}$, entonces el $\lim_{k\rightarrow \infty} [\cos (n! \pi x)]^{2k} = 0$.