Cuál es el periodo de una función que cumple la condición $f(a-x)=f(a+x)$ ?

Question

Cuál es el período de una función que satisface la condición $f(a-x)=f(a+x)$ donde a es cualquier número entero positivo?

Intenté sustituirlo por $x$ con $x-a$ pero eso no parece ayudarme mucho. Acabé consiguiendo $f(x)=f(-x+2a)$ He probado a sustituir otros términos similares pero no he podido llegar a una solución.

Answer 1

Es necesario que sea cierto para $a=1,2$ para obtener la periodicidad.

Entonces $$f(2+x)=f(2-x)=f(1+(1-x))=f(1-(1-x))=f(x)$$

Así que tendrías que demostrar que hay un ejemplo que tiene punto $2$ y no hay un periodo menor para terminar su prueba. Pruebe $f(x)=\sin(\pi x)$ .

Si $S\subseteq Z$ y $f(a+x)=f(a-x)$ para todos $a\in S,x\in\mathbb R$ entonces $f$ debe tener periodicidad $2\gcd\{s_1-s_2\mid s_1,s_2\in S\}$ y puede encontrar un $f$ con esta periodicidad exacta.