Demuestra que los bisectores de los ángulos internos del $\triangle ABC$ se encuentran en un punto.
El problema es que tengo que demostrar esto usando el lugar geométrico de una línea recta y sus propiedades, no puedo usar vectores.
La prueba que se me ocurre es muy simple pero extremadamente tediosa.
Permita que las coordenadas del triángulo sean $(0,0), (a,0), (x_0,y_0)$
Permita que el lado que conecta $(0,0)\ \& \ (a, 0)$ sea C, $(0,0)\ \& \ (x_0, y_0)$ sea A y $(x_0,y_0)\ \& \ (a, 0)$ sea B.
Entonces, las ecuaciones de los lados son,
$$C : y = 0 \ ; \ B : y(a - x_0) + xy_0 - ay_0 = 0\ ; \ A: xy_0 - yx_0 = 0$$
La forma general de los bisectores de ángulos entre dos ángulos es $${Ax + By + C\over \sqrt{A^2 + B^2}} = \pm {A_0x + B_0y + C_0\over \sqrt{A_0^2 + B_0^2}} $$
Usando esta ecuación, y algunas matemáticas muy tediosas, obtuve,
$$ \operatorname{bisector(AC)} : y\left(\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + x_0\right) -xy_0 = 0 \ ; \ \\ \operatorname{bisector(BC)} : y\left(\sqrt{(a -x-0)}- (a-x_0)\right)- xy_0+ay_0 = 0 \ ; \ \\ \operatorname{bisector(AC)} : x\left(\left(\sqrt{(a -x-0)}- (a-x_0)\right)y_0 - \sqrt{y_0^2 + x_0^2}y_0\right) - y\left(x_0\left(\sqrt{(a -x-0)}- (a-x_0)\right) + \sqrt{y_0^2 + x_0^2}(a-x_0)\right) + \sqrt{y_0^2 + x_0^2}ay_0 = 0$$
Ahora solo necesito demostrar que estas tres líneas se intersecan, para lo cual debo demostrar que el determinante de los coeficientes de estas tres líneas sea igual a $0$.
Intenté hacerlo pero no da cero, probablemente me equivoqué en encontrar las ecuaciones.
Tiene que haber alguna otra forma de hacer esto, ya sea usando algún método inteligente para calcular los bisectores o eligiendo las coordenadas del triángulo de tal manera que no obtengamos ecuaciones tan horribles.
Se agradece cualquier ayuda.
Editar
Aunque las respuestas de @Joffran y @Mark son lo que necesitaba, quiero ver si alguien puede demostrar esto utilizando el método que describí.
