Definición alternativa de Núcleo de Grupo

Question

En mi clase de Álgebra, mi profesor define el núcleo en el contexto de los homomorfismos de grupo, pero esto parece no tener ninguna relación con la definición normal. ¿Es esto equivalente a la definición normal? Parece completamente diferente.

Dejemos que $G, H$ ser grupos y $u, v: G \to H$ sean homomorfismos de grupos. Definimos el par $(K, i)$ para ser el núcleo del par $(u, v)$ proporcionado $i: K \to G$ es un homomorfismo tal que $u \circ i = v \circ i$ y, para cualquier grupo $F$ y el homomorfismo $w : F \to G$ tal que $u \circ w = v \circ w$ existe un homomorfismo único $w' : F \to K$ tal que $w = i \circ w'$ .

EDIT: Un comentarista (ahora borrado) sugirió que esta es la definición teórica de la categoría del núcleo. Me parece que la definición dada en Wikipedia sigue siendo ligeramente diferente a la definición que me dieron en clase. La definición de Wikipedia define el núcleo de un cierto morfismo $f$ mientras que mi profesor define el núcleo de un par $(u, v)$ .

Answer 1

El núcleo, tal y como se define en su pregunta, es lo que hoy en día se suele llamar el ecualizador de $u$ y $v$ . En una época, la terminología "núcleo" o "núcleo de diferencia" era bastante común, pero creo que ya no se utiliza mucho en este sentido. Hoy en día, al menos en teoría de grupos (y en teoría de anillos), se habla del núcleo de un único homomorfismo $f$ . Este es un caso especial de los ecualizadores; el núcleo de $f$ es el ecualizador de $f$ y el homomorfismo "cero" (es decir, el homomorfismo que envía todos los elementos del grupo dominio al elemento identidad del grupo codominio). Más concretamente, el núcleo de $f:G\to H$ es el subgrupo $K$ de $G$ formado por los elementos de $G$ que $f$ se corresponde con la identidad de $H$ . El homomorfismo de inclusión $K\to G$ (enviando cada elemento de $K$ a sí mismo considerado como un elemento de $G$ ) es el ecualizador de $f$ y el homomorfismo que envía todo $G$ al elemento de identidad de $H$ .