Estoy impartiendo un segundo curso de álgebra lineal avanzada, siguiendo la segunda parte de Hoffman-Kunze. Me he encontrado con lo que creo que es un error, pero quiero que los expertos lo confirmen (o lo refuten). La situación es la siguiente:
Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio de producto interno sobre $\mathbb C$ ou $\mathbb R$ . [Aquí el producto interno es siempre positivo definido]. $T$ ser un normal operador lineal en $V$ . Esto significa que $T$ conmuta con su adjunto $T^*$ . En la sección 9.6 de Hoffman-Kunze, página 355, demuestran (correctamente) que si $W$ es cualquier $T$ -subespacio invariable de $V$ entonces también es $T^*$ -y, en consecuencia, el complemento ortogonal $W^{\perp}$ es también $T$ -invariante y $T^*$ -invariante. Además, la restricción de $T$ a ambos $W$ y $W^{\perp}$ es de nuevo normal. [No lo dicen así, pero eso está implícito en su prueba del Teorema 19].
A continuación, dicen que "ahora se puede demostrar fácilmente" un *teorema de descomposición cíclica reforzado", que es el Teorema 20 al final de la página 355. A mí no me resultó tan fácil (tal vez se me escapa algo), pero sí que encontré una demostración. El hecho relevante aquí es que hay un ortogonal descomposición de la suma directa $V = Z(v_1, T) \oplus \cdots \oplus Z(v_r, T)$ donde $Z(v, T) = \mathrm{span} \{ v, Tv, T^2v, \cdots \}$ es el $T$ -subespacio cíclico de $V$ generado por $v$ .
Es el "Corolario" al principio de la página 356 lo que no me creo. Dice:
Corolario. Si $A$ es una matriz normal sobre $\mathbb R$ (respectivamente, $\mathbb C$ ) entonces existe una matriz real ortogonal (respectivamente, unitaria) $P$ tal que $P^{-1} A P = P^* A P$ está en forma canónica racional.
Esto significa que se puede encontrar un base ortonormal de $V$ en la que la matriz de $T$ está en forma canónica racional. Dado que el $Z(v_i, T)$ son ortogonales, esto significa que podemos encontrar un ortonormal base de cada $Z(v_i, T)$ con respecto a la cual la matriz de la restricción $T_i$ de $T$ a $Z(v_i, T)$ es la matriz de acompañamiento del polinomio mínimo $p_i$ de $T_i$ .
Pero esto parece ser equivalente a decir que, si $S$ es un operador normal en un $m$ -espacio de producto interno de dimensiones $W$ que admite un vector cíclico $w$ entonces podemos elegir ese vector cíclico de manera que $\{ w, Tw, \ldots, T^{m - 1} w \}$ es ortonormal. Es fácil ver que esto definitivamente no se puede sostener si el campo es $\mathbb R$ , $m > 2$ y $S$ es autoadjunto, por la siguiente razón. Dado que $S$ es autoadjunto, es ortogonalmente diagonalizable por el teorema espectral. Sea $\{ w_1, \ldots, w_m \}$ sea una base ortonormal de los vectores propios de $S$ con $S w_i = \lambda_i w_i$ . Entonces el $w$ que buscamos es de la forma $w = c_1 w_1 + \cdots + c_m w_m$ para algunos escalares $c_1, \ldots, c_m \in \mathbb R$ . Pero entonces tenemos
$$\langle w, T^2 w \rangle = \sum_{i=1}^m \lambda_i^2 c_i^2 = \langle Tw, Tw \rangle.$$
Pero queremos que el lado izquierdo sea cero y el lado derecho sea uno, lo que da una contradicción.
¿Le parece correcto mi argumento? No encuentro ningún error. ¿Alguien más está de acuerdo en que el Corolario de la página 356 de Hoffman-Kunze es falso?
Gracias.
