El Gauss--Lucas Teorema establece que todos los ceros de un grado $n$ complejo polinomio $p(z)$ están contenidas en el casco convexo de los ceros de $p$. Por iteración, esto implica que los ceros de $p',p^{(2)},\ldots,p^{(n-1)}$ están contenidas en el casco convexo de los ceros de $p$.
La definición de la integral--Teorema de Hurwitz (entre otros) implica que si un tracto $D$ $p$ (es decir, un componente del conjunto de $\{z:|p(z)|<\epsilon\}$ algunos $\epsilon>0$) contiene todos los ceros de $p$ en su limitada cara, entonces todos los puntos críticos de $p$ están contenidas en $D$.
Mi conjetura es que, en realidad, si $D$ es una de las vías de $p$ y contiene todos los ceros de $p$, $D$ también contiene todos los ceros de $p',p^{(2)},\ldots,p^{(n-1)}$.
Ciertamente, esto no siga por straight-forward iteración, ya que en general no hay necesidad de ser una de las vías de $p'$ contiene todos los ceros de $p'$, que está contenida en $D$. Parece que los tratados y las curvas de nivel de $p'$ no interactuar muy bien con los tratados y las curvas de nivel de $p$ (incluso peor para $p'',p''',\ldots$).
He echado un vistazo a intentar aplicar la Integral de Cauchy Fórmula (algún tipo de integración por partes de la aplicación tal vez?), pero no parecen ser capaces de hacer al progreso. Todas las ideas para la prueba o contraejemplo?
