¿Puedo escribir $\mathbb{R}^n_+$ como un cono normativo?

Question

Dejemos que $\mathbb{R}^n_+=\{x=(x_1,\dots,x_n):x_i\geq 0,\forall i \},n\geq 2$ . Me pregunto si puedo escribir $\mathbb{R}^n_+$ como un cono normativo, es decir, $$\exists A, c, \|\cdot\|, s.t. x \in \mathbb{R}^n_+ \iff \|Ax\|\leq c^Tx.$$

Supongo que no, pero no he podido averiguar por qué. He intentado mirar el cono dual pero parece muy difícil calcular el cono dual de $\{x:\|Ax\|\leq c^Tx\}$ .

Answer 1

Parece que sí. Toma $\|\cdot\|$ para ser el $1$ -normas, $A = I$ y $c = (1,\dots,1)^T$ . En particular, tenemos $$ x \in \Bbb R^n_+ \iff |x_1| + \cdots + |x_n| \leq x_1 + \cdots + x_n $$