Mostrar $f:\mathbb R \to \mathbb R$ por $f(x)=\frac{x}{2}+x^2\sin\frac{1}{x}$ no es inyectiva en ninguna vecindad de $0$

Question

Definir $f:\mathbb R \to \mathbb R$ por $f(x)=\frac{x}{2}+x^2\sin\frac{1}{x}$ si $x \neq 0$ y $f(0)=0$ . Calcula $f'(x)$ para todos $x \in \mathbb R$ . Demostrar que $f'(0)>0$ Sin embargo $f$ no es inyectiva en ninguna vecindad de $0$ .

Mi idea:

$f'(x)=\frac{1}{2}+2x\sin{\frac{1}{x}}-\cos{\frac{1}{x}}$

$f'(0)=\frac{1}{2}$ así que $f'(0)>0$ . (¿es esto correcto?)

¿Cómo demostraría la no inyectividad? ¿Mostraría múltiples valores para $x$ que ambos equivalen a lo mismo $f(x_1)=f(x_2)$ ?

Answer 1

Está claro que para cada $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ la derivada $f'(x)$ existe y allí es continuo. $f'(0)$ también existe, pero sólo se puede calcular por la propia definición de la derivada: $$\begin{align} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{h}{2}+h^2\sin(\tfrac{1}{h})}{h}=\frac{1}{2}+h\sin(\tfrac{1}{h}) \overset{h\rightarrow 0}{\rightarrow}\frac{1}{2}. \end{align}$$ (Considere que $|h\sin(\tfrac{1}{h})|\le |h|$ por cada $h\neq 0$ . Así que, $f'(0)=\frac{1}{2}>0$ .)

Por la no inyectividad: Consideremos las secuencias $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}, (b_k)_{k\in\mathbb{N}}$ con $$\begin{align} a_k:= \frac{1}{2k\pi}, && b_k:= \frac{1}{(2k+1)\pi}. \end{align}$$ Entonces tienes para cada $k\in{\mathbb{N}}$ $$\begin{align} f'(a_k)= \frac{1}{2}+ \frac{1}{k\pi}\sin(2k\pi)-\cos(2k\pi)=-\frac{1}{2}\\ f'(b_k)= \frac{1}{2}+ \frac{2}{(2k+1)\pi}\sin((2k+1)\pi)-\cos((2k+1)\pi)=\frac{3}{2}. \end{align}$$ Tomar el límite $k\rightarrow\infty$ la continuidad de $f'$ (fuera de $0$ ) implica que $f$ no es inyectiva en ninguna vecindad de $0$ .

Answer 2

Calcular la derivada de una función, se reduce a calcular algunos límites de funciones. Si se trata de encontrar el límite de $2x\sin(1/x)$ Esto es en realidad $0$ porque el producto de una función que tiene un "comportamiento normal" y una función acotada (como $\sin(x)$ ) es siempre cero (cuando se aplican límites, por supuesto). La función $\cos(x)$ también está acotada, así que puedes utilizar estos dos argumentos para demostrar que efectivamente la derivada es positiva.

Espero que esto ayude.

Edición: En realidad, si quieres $f'(0)$ esto es equivalente a $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ . Usted sabe que $f(0)=0$ por lo que el límite se reduce a un álgebra simple en la que de nuevo hay que utilizar ese criterio sobre productos de funciones acotadas que ya he mencionado. El resultado final es $\frac{1}{2}$ .