Espacio métrico incompleto en R - Ejemplos

Question

¿Qué secuencia en $\mathbb{R}$ no convergen con la métrica d(x,y)=|| $\frac{x}{1+|x|}-\frac{y}{1+|y|}$ |?

Me estoy esforzando por pensar en una secuencia para conseguir que el numerador aumente más rápido que el denominador hasta llegar al infinito, que no está incluido en la recta real, pero no se me ocurre nada. ¿Estoy pensando en la línea correcta?

Answer 1

La secuencia $(n)_{n\in \mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy para $d$ que no converge en $\mathbb R$ .

Answer 2

Primero debes probar la afirmación de que la métrica euclidiana $| \cdot |$ es una métrica equivalente con d. A continuación consideramos la secuencia $ x_n=n, \ n\in N$ . Esta secuencia es d-Cauchy porque $$\forall \varepsilon>0, \exists n_0 , \forall m,n>n_0 : 1-\varepsilon /2<\frac{n}{n+1} <1+\varepsilon /2$$ y $$1-\varepsilon /2<\frac{m}{m+1} <1+\varepsilon /2. $$ En consecuencia, $d(x_n,x_m)<\varepsilon , \forall m,n>n_0$ . Pero, esta secuencia no es d-convergente porque si lo fuera entonces desde la afirmación anterior las secuencias serían $| \cdot |-$ convergente pero como sabemos por el cálculo la secuencia $x_n=n, n\in N$ no converge (con respecto a la métrica euclidiana).