El número de grupos simples finitos de orden dado es como máximo 2 - ¿es posible una prueba sin clasificación?

Question

Este artículo de Wikipedia afirma que el tipo de isomorfismo de un grupo simple finito está determinado por su orden, salvo que:

• L ₄ (2) y L ₃ (4) ambos tienen el orden 20160
• O _2n+1 (q) y S _2n (q) tienen el mismo orden para q impar, n > 2

Creo que esto significa que para cada número entero g, hay 0, 1 o 2 grupos simples de orden g.

¿Necesitamos toda la fuerza del Clasificación de los grupos simples finitos para demostrar esto, o hay una forma más sencilla de demostrarlo?

(Preguntado originalmente en math.stackexchange.com ).

Answer 1

Suele ser extraordinariamente difícil demostrar la unicidad de un grupo simple dado su orden, o incluso dado su orden y su tabla de caracteres completa. En particular, uno de los últimos y más difíciles pasos en la clasificación de los grupos simples finitos fue demostrar la unicidad de los grupos Ree de tipo $^2G_2$ de orden $q^3(q^3+1)(q-1)$ (para $q$ de la forma $3^{2n+1}$ ) que finalmente fue resuelto en una serie de trabajos notoriamente difíciles por Thompson y Bombieri. Aunque intentaban demostrar que el grupo era único, demostrar que había como máximo 2 no habría sido más fácil.

Otro ejemplo se da en el artículo de Higman en el libro "finite simple groups" donde intenta caracterizar el primer grupo de Janko dado no sólo su orden 175560, sino toda su tabla de caracteres. Incluso esto lleva varias páginas de complicados argumentos.

En otras palabras, no hay una manera fácil de acotar el número de grupos simples de un orden determinado, a menos que un montón de gente muy inteligente haya pasado por alto algo fácil.

Answer 2

Emil Artin demostró en 1955 en dos artículos que los ejemplos mencionados son los únicos casos de grupos simples finitos no isomorfos que tienen el mismo orden. Demostró el resultado sólo para los grupos conocidos hasta entonces. A medida que se descubrían nuevos grupos, Jacques Tits se encargó de comprobar que no había más casos de este tipo. Para una exposición de esto, se puede buscar en `Kimmerle y otros, Proc. London Math. Soc. 60(3) (1990) 89-122'.

Así que, efectivamente, la clasificación se utiliza hasta cierto punto.