¿Por qué la interpolación polinómica se considera mejor que otras?
En caso de interpolación, la función $\phi(x)$ para aproximar la función desconocida $f(x)$ puede ser polinómica, exponencial, suma trigonométrica, serie de Taylor, polinómica a trozos, etc. Entonces por qué la interpolación polinómica se considera mejor que otras (aunque sé que hay una justificación para la aproximación por polinomios (teorema de Weierstrass), pero no es cierto que no haya justificación para aproximar por exponencial, trigonométrico etc).
En algún lugar leí, la razón para considerar los polinomios en la aproximación de funciones $f(x)$ es que la derivada y integral indefinida de un polinomio son fáciles de determinar y son también polinomios. Pero si $\phi(x)$ es exponencial, suma trigonométrica, serie de Taylor, polinomio a trozos, etc., entonces también la derivada y integral indefinida se determinan como polinomios.
Entonces, ¿qué otra(s) razón(es) hay para tener en cuenta los polinomios?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La otra razón es probablemente que comparando los polinomios con otras funciones elementales los polinomios son también más fáciles de calcular, esto es una justificación práctica por supuesto. Teóricamente hablando... no estoy seguro de esta afirmación porque también se puede aproximar una función utilizando el polinomio trigonométrico. Las funciones trigonométricas no son fáciles de calcular en la práctica (en un ordenador quiero decir) pero por supuesto son importantes para resolver de forma cerrada ciertas ecuaciones diferenciales. No sé sobre la exponencial, pero tienen otras aplicaciones, como en el análisis funcional. Creo que en realidad depende de la aplicación y no sólo de las propiedades teóricas.
No conozco tus antecedentes, por supuesto, pero si tratas de implementar desde nada una función trigonométrica (en todo su dominio con suficiente precisión) se vería un montón de problemas...
