Ecuación funcional de los polinomios

Question

Al leer un capítulo titulado "Ecuaciones funcionales para polinomios" en el libro "Polinomios" de Victor Prasolov, afirma que

Todo polinomio $f$ de grado $n+1$ satisface la identidad $$f(x) = f(y) +(x-y)f'(y)+\cdots+(x-y)^{n+1}\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}$$

Esencialmente transcribe un polinomio dado en una forma funcional. Tengo un poco de dificultad para entender lo que está pasando aquí. Claramente, la forma funcional se asemeja a una serie de Taylor, pero ¿qué hace $y$ ¿Representar aquí? ¿Podría alguien darme un ejemplo de cómo quedaría un polinomio bajo esta transformación?

Answer 1

Esto es literalmente sólo la serie Taylor. Intuitivamente, se piensa en ello como tomar una expansión de Taylor alrededor de $y$ para encontrar el valor en $x$ . Normalmente, se espera que las series de Taylor den una aproximación cercana a $y$ pero como todos los términos de orden superior desaparecen y los polinomios son funciones analíticas, se obtiene una igualdad exacta.

Lo bueno de esto es que se puede definir una derivada formal para polinomios sobre cualquier y no sólo para los polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . A continuación, se puede comprobar que las identidades habituales siguen siendo válidas (aunque, en el caso que nos ocupa, para poder escribir una serie de Taylor como es habitual para cualquier polinomio, hay que pedir que la característica sea 0).

Si te preguntas por la definición de la derivada formal, es exactamente lo que esperarías: si tienes un polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ entonces $p'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \ldots + n a_n x^{n - 1}$ .