Solución real del sistema $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = \frac{1}{p}, m^2 + n^2 = 1360, m + n + p = 47$

Question

Un amigo mío me planteó el siguiente problema.

Dejemos que $m,n,$ y $p$ sea la solución real del sistema \begin{align*} \frac{2}{m} + \frac{3}{n} &= \frac{1}{p}\\ m^2 + n^2 &= 1360\\ m + n + p &= 47. \end{align*} ¿Cuál es el valor de $n - m$ ?

A mi amigo le tocó este problema en su examen, que sólo debería tardar alrededor de un minuto en resolver cada problema. Sabemos que la solución es $m = 8, n = 36, p = 3$ . Bueno, usamos WolframAlpha para encontrarlo, para ser honestos (¡no en el examen, por supuesto!). Pero creo que puede que no haya una buena solución para este problema, y mucho menos una solución que resuelva el problema en poco tiempo. Y creemos que puede ser ese problema "trampa" que te hace perder tiempo, un tiempo precioso.

Sin embargo, he intentado resolverlo sin WolframAlpha. Después de deshacerse de $p$ y simplificando tengo el sistema \begin{align} m^2 + n^2 &= 1360\tag{1}\\ 3 m^2 + 6 m n - 141 m + 2 n^2 - 94 n & = 0\tag{2} \end{align} ¿Ves eso? Ecuación $(2)$ es un desastre. Por eso espero que no haya una solución "bonita". (Ni siquiera encuentro ninguna solución todavía, triste)

Otra forma que se me ocurre es encontrar $n - m$ directamente, sin encontrar la solución en sí misma. Pero esto tampoco parece funcionar.

¿Alguna pista? Cualquier solución es bienvenida.

Answer 1

Suponiendo que los enteros funcionen:

$1360 = 16 \cdot 5 \cdot 17$ Si la suma de dos cuadrados es divisible por 4, cada argumento es divisible por 2. Esto ocurre dos veces. Llegamos a $m = 4 x, n = 4 y$ con $x^2 + y^2 = 85$ .

Como $85$ es compuesto, obtenemos dos pares, $85 = 81 + 4$ o $85 = 49 + 36.$ Los pares (9,2) y (7,6) provienen de esa fórmula multiplicadora y $5 = 4+1$ y $17 = 16 + 1,$ combinados en dos ordenamientos...

Los dos ordenados positivos $(m,n) = (36,8) \; ; \; (28,24).$ O $(m,n) = (8,36) \; ; \; (24,28).$ O colocando algunos signos menos

Answer 2

Se pueden encontrar soluciones probando $\qquad n=\sqrt{1360-m^2}, \quad 1\le m \le \lfloor\sqrt{1360}\space \rfloor =36\qquad$ para ver qué $\space m$ -valores dan números enteros. Estas soluciones pueden ser comprobadas por $\space p=47-m-n\space$ para ver cuál es el rendimiento de los primos y $\quad p=\dfrac{mn}{2n+3m}\space$ para ver cuáles dan enteros. Soluciones como $\space (24,26,\space (28(24)\space (36,8)\space$ dan primos en la prueba de sustracción pero ninguno da enteros en la prueba racional. Así, sólo la primera solución $\space (8,36)\space$ cumple todos los criterios.

\begin{align*} y&=\sqrt{1360-8^2}=36\\ p&=47-8-36=3 \\ p&=\dfrac{8(36)}{2(36)+3(8)}=3 \end{align*}

\begin{align*} \frac{2}{m}+\frac{3}{n}=\frac{1}{p}\\ \text{The only integer solutions are} \\ \\ \frac{2}{8}+\frac{3}{36}=\frac{1}{3} \\ m^2+n^2=8^2+36^2=1360 \\ m+n+p = 8+36+3=47 \\ n=m - 36-8=28 \end{align*}