¿Cuál es la condición mínima para que el operador de evolución temporal se escriba como $U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt'}$ ?

Question

Es $\frac{d }{dt} e^{H(t)}=H(t)' e^{H(t)}$ la condición mínima para que el operador de evolución temporal se escriba como $U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt'}$ ?

Además, ¿cuál es la condición mínima para que el operador de evolución temporal se escriba como $U(t,t_0)=e^{-\frac{i}{\hbar} E_n(t-t_0)}$ (En realidad, lo que creo que quería decir era $U(t,t_0)=[$ con un elemento diagonal de $e^{-\frac{i}{\hbar} E_n(t-t_0)}]$ )? ¿Igual que la pregunta anterior, o algo más?

Answer 1

El más general "solución" a la ecuación de Schrödinger

$$ i\hbar\frac{d|\psi\rangle}{dt} = \hat{H}(t)|\psi\rangle $$

viene dada por la exponencial ordenada en el tiempo

$$ | \psi(t) \rangle = \mathcal{T}\left\{ e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt'\ \hat{H}(t') } \right\} | \psi(t_0)\rangle, $$

donde $\mathcal{T}$ es el operador de ordenación del tiempo. Es decir, el operador general de evolución temporal es

$$ U(t, t_0) = \mathcal{T}\left\{ e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt'\ \hat{H}(t') } \right\}. $$

Por tanto, la condición mínima para poder "eliminar" el símbolo de ordenación del tiempo y obtener así

$$ U(t, t_0)= e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt'\ \hat{H}(t') } $$

es que el el hamiltoniano conmuta consigo mismo en dos momentos cualesquiera . Es decir, la condición viene dada por

$$ U(t, t_0)= e^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt'\ \hat{H}(t') } \iff [H(t), H(t')]=0\ \ \ \forall t, t'. $$